Рис. 8-12

t= oni соответствующем точке касания штриховой прямой на рис. 8-12, а к 1фивой А [ (t).

При /< tr,-aT точность результата растет быстрее увеличения затрат времени и эффективность непрерывно повышается. При t > пт точность результата продолжает возрастать, но растет медпеннее увеличения затрат времени и эффективность падает.

Учет полных затрат времени на проведение эксперимента. В теории планирования экспервмента затраты учитьтаются лишь как число и проведенных опытов (полученных отсчетов). Если - средние затраты времени на один опыт при данном сочетании факторов, то затраты на весь эксперимент возрастают как г = nti.

Но, кроме затрат, возрастаюшлх пропорционально числу отсчетов, постановка и проведение эксперимента требуют еще и затрат времени, не зависяш,их от числа проводимых отсчетов. Это затраты времени на подготовку исследуемых образцов, подготовку и регулировку аппаратуры, ожидание окончания переходных процессов при смене уровней варьирования факторов и т. п. Практически не зависят от числа отсчетов затраты времени ка посл8дуюш,ую обработку на ЭВМ полученных результатов.

Все эти затраты времени необходимы к целесообразны, tsk как отказ от них влечет за собой повыпхение случайных, систематических или прогрессируюш,их погрешностей, т. е. ухудшает качество получаемых данных. Однако в сумме эти не зависящие от числа отсчетов затраты часто превьппают затраты времени / =- ntf на само проведение измерений и проведенный без их учета анализ часто (как было показано в § 8-6) полностью искажает действительное положение дел.

Сумму затрат времени на эксперимент в целом, не забисяш,их от числа отсчетов, условно назовем временем подготовки t. Результируюш,ая эффективность эксперимента определяется, естественно, суммой обеих разновидностей затрат 2 = как Е = Al(t-i- fj градаций в час.

Графическое построение для определения времени опт» соотбетствуюш,его максимуму эффективности эксперимента при затрате на подготовку эксперимента времени показано на рис. 8-12, б. Так как точка касания прямой в зависимости от вреглени подготовет! может располагаться на любом участке кривой А = = / (/), то на рис. 8-12, б одновременно с фактической кривой А = f (f) штриховой л1шией показана кривая А = rf" (кривая вида А - cl\ аппроксимирующая участок фактической кривой, содержащий точку касания. Приравнивая

наклон касательной Л/(п+О производной dAldt= caf, получаем

«"/(n + = «С! и + о„т = Ст/«п1) = опт/«-

Отсюда = *опт(1/« - О или опт= tnl(\la - 1) = - 1), где Р = = 1/а - показатель степени корня в выражении A = ct. Таким образом, при Р = 2 /опт= п. при Р = 3 опт= tjJ при Р = 4 опт= п/З и при Р = Б

Полученные соотношения для оптимального значения времени усреднения соответствуют лишь тому случаю, когда размер случайной погрешности yi известен заранее. Если же с. к. о. случайной составляющей погрешности заранее не известно и вычисляется по данным того же эксперимента, то доверительное значение погрешности усредненного результата должно вычисляться через квантиль t (и) распределения Стьюдента, которая является табулированной функцией от числа и усредняемых отсчетов. Вследствие этого в формуле для определения погрешности Vjj = (к) б/!/"» где 6 - найденная по выборке оценка приведенного значения с. е. о. усредняевшх отсчетов, оказываются зависящими от п как числитель t (и), так и знаменатель "]/«. Это существенно изменяет форму кривой этой зависимости.

В этом случае зависимость точности А т п = tlti получает вид А = = Ш\/п1и (п) bi\. Значения этой функции для Рд= 0,95 и = 1% приведены-в табл. 8-11 и нанесены в виде кривой 1 на графике рис. 8-13, где одновременно штриховой кривой 2 показана зависимость А = crfi, совпадающая с начальным участком кривой и кривой 3 - зависимость Л = Т/й» совпадаю-ш,ая с кривой 1 при больших значениях п, а также прямая 4, проходящая через начало координат и касающаяся кривой 1 при и = 5.

Таким образом, в этом случае до и 3 точность возрастает как А т сп, в области я л; 5- растет приблизительно линейно с затратой времени, а при и > 5 - приближается к зависимости А = Cg "] г! Отсюда следует вывод: распространенное мнение, что усреднение 2, 3 или Б отсчетов малоэффективно, является ошибочным. Наоборот, на этом участке происходит самое крутое возрастание точности, т. е. такая затрата времени на дополнительные отсчеты весьма эффективна.

Так как зависимость А = f (t) (рис. 8-13) определяется табулированными значениями квантилей распределения Стьюдента, то аналитически взять от нее производную нельзя. Однако для Рд= 0,95 кривая рис. 8-13 или исходные данные табл. 8-11 с по-

грешностью примерно 1,5% аппроксимируются выражением

А = [0,8726 In (и - 1) + 2,213]=

или (для и > 3) с погрешностью примерно 0,5% - выражением

, 196

1 - l,2/v + 0,354/v3

где V = и - 1 - число степеней свободы распределения Стьюдента. Тогда

, У» Л 1.2 , 0.354 \

2it (в) 26.1,96 V V vS

Использование как первого, так и второго из этих аппроксимирующих выражений приводит к одному и тому же виду зависимости оп-гамальной затраты времени на проведение усредняемых отсчетов от. от времени подготовки в виде опт + 5г и оп-шмальному объему выборки усредняемых данных Воц,(, = 5+ tjti, т. е. при Рд = 0,95 и не известном заранее с. к. о. выборка, соответствующая опт. должна быть на 5 отсчетов больше, чем при заранее известном с. к. о. Oj.

Практический расчет оптимального числа усредняемых отсчетов. Расчет «опт по формуле Попт= опть где опт= п/(Р - 1)> а [5 рассчитывается по формуле (8-5), связан с необходимостью повторных итераций при назначении ряда пробных значений п. Однако, как показал И. А. Назаров, опт в этой задаче определяется решением кубического уравнения вида 2% (l + rVx) == 1 + X. где X = оптп;

Искомый корень х этого 1!убического уравнения для г от 0,1 до 20 с погрешностью не более 1% может быть найден по аппроксиишруюш,ему соотношению

(8-7)

(2г)

Таким образом, расчет оптимального числа усредняемых отсчетов «опт производится в следуюш,ем порядке. Определяются затраты времени на весь эксперимент в целом, не связанные "с теслом п усредняемых отсчетов (подготовка образцов и аппаратуры, ожидание окончания переходных процессов, время об-работзаи данных на ЭВМ и т. п.). Оценивается время tf, приходяш,ееся в среднем на получение каждого из в усредняемых отсчетов. Оценивается возможное соотношение систематической 6 и случайной yi погрешностей получаемых отсчетов: а = O/yj. По формуле (8-6) находится значение вспомогательной переменной г. По формуле (8-7) рассчитывается опт и при известной заранее определяется Иопт= опт/г- Если же Oj заранее не известно, а определяется из данных того же эксперимента, то «опт = оптг + 5.

Некоторые практические выводы. Приведенные соотношения, несмотря на предельно допустимые упрощения, положенные в основу их выводов, могут оказаться полезными при практическом планировании эксперимента. Тем более, что особой строгости при выборе оптимального объема и выборки исходных данных проявлять не следует, так как при использовании планов оптимального, эксперимента речь может идти лишь о выборе числа повторения всех опытов этого плана. При этом следует иметь в виду, что при отзотонении от опт (™. рис. 8-12) в меньшую сторону эффективность падает резко, а при отклонении в большую сторону - снижается значительно медленнее. Поэтому предпочтение следует отдавать большему значению из б.чижайших к оптимальному.

Далее следует иметь в виду, что оптимальное по эффективности опт (или Попт) соответствует наиболее экономному плану проведения эксперимента, а достигаемая при этом точность усредненного результата (см. рис. 8-12) существенно меньше максимально возможной (см. рис. 8-11). Поэтому при необходи-