удалось распело жита таи, как это бнло показано на рис. 1-10, а, т. е. сделать в точности е = О и Vj = 0,4%. В этом случае зависимость А = f (t) изобразится на рис. 8-11 кривой 4, когда при усреднении п я* 1000 отсчетов достигается максимум А, соответствукиций « 0,016%. Но даже в этом идеальном случае соотношение А = Ci l/n справедливо лишь на участке от о = 10 до п= 300.

8-9. КРИВАЯ ФАКТИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ ДОСТИГАЕМОЙ ТОЧНОСТИ УСРЕДНЕННОГО РЕЗУЛЬТАТА ОТ ЧИСЛА УСРЕДНЯЕМЫХ ОТСЧЕТОВ С УЧЕТОМ НЕИСКЛЮЧАЕМОЙ ПРИ ИХ УСРЕДНЕНИИ СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОГРЕШНОСТИ

Рассмотренный выше пример усреднения сотен отсчетов с одновременной автоматаческой коррекцией систематической погрешности убедительно свидетельствует о несостоятельности утверждения, широко пропагандируемого во всех учебниках по статистической обработке, о том, что погрешность усредненного результата иеограниченио убывает с ростом числа п усредняемых отсчетов* yj = yjitfl/n. На практике это соотношение остается справедливым при усреднении без одновременной коррекции систематической погрешности лишь 2-3 отсчетов, а при использовании коррекции перед каждой серией усредняемых отсчетов - для /г от 3 до Б и при автоматической коррекции перед каждым измерением - для /г от Б до 10 отсчетов.

В чем же причина этого серьезного конфликта теории с практикой? Дело в том, что теоретическое утверждение, что oj = а п, введено лишь в предположении, что усредняемые отсчеты независимы, т. е. абсолютно некор-релированы между собой. Но на практике получить такие отсчеты абсолютно невозможно.

Отсчеты получают с помощью реальных СИ, которые всегда имеют заметную долю систематической погрешносш. И не малую долю, а того же порядка, что и их случайная погрешность. В § 1-7 на основе фактических данных было показано, что если у СИ случайная погрешность составляет 0,4Укл. то систематическая в конце межремонтного интервала достигает О.бцл." Систематическими являются и все динамические погрешности, подавляющая часть методических погрешностей, погрешность адекватности модели и т. д.

Правда, относительная доля систематической погрешности может существенно уменьшаться за счет случайных отклонений отсчетов вследствие большой диффузности самого объекта измерения (см. § 8-7), но тем не менее она всегда остается существенной и требует внимательного анализа.

Как же в этих реальных условиях происходит усреднение? Очень просто. Случайные, независимые между собой погрешности yt при усреднении по п отсчетам действительно уменьшаются в "j/n раз, а систематическая погрешносгь 6 остается неизменной после усреднения по любому числу отсчетов, так как присутствует в каждом из них. В итоге результирующая погрешность усредненного результата

-»+*-*(+")=*<+""*

где а = в/у1 - отношение систематической и случайной погрешностей исходных данных. Именно это отношение и определяет характер кривых рис. 8-11.

Следовательно, точность А усредненного результата возрастает с числом усредняемых отсчетов п не как А =\/п/(2у{), а как

А = - (8-4)

Это дробное выражение не дает наглядного представления об изменении с ростом п кривизны обсуждаемой кривой. Для наглядности его можно аппроксимировать функцией в виде А = с уп, где fi - показатель степени корня из п. Значение р равно 2 только при абсолютном отсутствии корреляционных связей между погрешностями отдельных отсчетов, т. е. при 6=0. При 6 =5 О показатель р, как было показано на рис. 8-11, изменяется с ростом и от 2 до оо. Для аппроксимации участка кривой от % до «а при д ФО значения показателя корня Р могут быть вычислены по формуле

- " 2 (8-5)

lg[(l+«Vni)/(l+aVna)l

Ig (я2/п1)

Так как предположение о справедливости соотношения -ji = УхцУп используется очень широко и в самых различных случаях, то полезно знать, когда оно верно хота бы приблизительно, а когда становится ошибочным. Для этого в табл. 8-10 приведены значения показателя степени fi, вычисленные по формуле (8-5) для различной доли систематической погрешности а = Qid и разных участков кривой А -f {п) от Щ до fig.

Из данных табл. 8-10 видно, что соотношение yj = уУ на практике чаще всего неправомерно. Для выборки с п от 50 до 100 отсчетов оно хотя бы приближенно ((3 = 2,34) справедливо лишь тогда, когда 6 в 50 раз меньше, чем ji. Даже при 6 = yil20 оно приближенно ф = 2,38) справедливо лишь при усреднении 10-20 отсчетов, а при 6 = yi/lO - для и = З-т-5 отсчетов. Но такие соотношения систематической и случайной погрешностей возможны только или при очень большой диффузности исследуемых объектов, когда у; много больше систематической погрешности СИ, или при использовании СИ с весьма совершенной автоматической коррекцией систематических погрешностей.

Бездумное ж,е усреднение тысяч и десятков тысяч отсчетов, чем нередко увлекаются ныне горячие поклонники больших возможностей современной вычислительной техники, является очень опасным самообманом.

Некоторые итоги. Как видно из данных табл. 8-10 и кривых на рис. 8-11, присутствие даже очень небольшой доли систематических погрешностей, в том числе малой динамической погрешности от инерционности датчика или динамической погрешности от усреднения отсчетов, располагаюш,ихся по кривой, при-водит к тому, что повышение точности согласно соотношению у = yi/~\/n наблюдается лишь в ограниченном диапазоне числа п усредняемых отсчетов. В этой связи автор работы [53] по определению орбит спутников П. Е. Эльясбергдва параграфа в своей более популярной книге [54] озаглавил так: «§ 2-6. Конфликт теории с практикой» и «§ 2-7. Как можно испортить кашу маслом». Он пишет: «Математическую теорию решения задач рассматриваемого типа принято называть теорией оценивания. Особенно это относится к оценкам точности и наде.ж-

ности получаемши еиачений отшскиваемши параметров и ввжбору оптимальной стратегии решения задач оценивания. По всем этим вопросам имеется достаточно полная литература. Однако эта литература в большинстве носит специальный характер и остается в значительной мере недоступной для широкого круга читателей, связанны!» с вопросами применения методов этой теории к решению различныда принладныя задач. Это приводит, с одной стороны, к заметному отставанию практики решения задач оценивания от результатов теории а с другой - к отрыву теории от практики».

«Наиболее сильно это обстоятельство проявляется... при оценке точности получаемы» результатов... и может иметь место из-за неучета влияния систематический ошибок, иеучета корреляционных зависимостей между ошибнами отдельных измерений...».

По noBQiHy последней иа этий причин П. Е. Эльясберг пишет: «К сожалению, на прак-шкё часто ограничиваются исследованием только гистограммы без достаточно глубокого анализа... независимости отдельных измерений. Из изложенного следует практическая бессмысленность столь широко разрекламированного свойства состоятельности (статистических оценок). Действительно, оно является асимптотическим, т. е. должно проявляться при достаточно большом числе измерений. Однако при этом определяющим становится влияние всегда существующи1Я малых неучитываеншх коррелиционных связей, приводящих к нарушению этого свойства. Таким образом, состоятельность статистический оценок можно с полным основанием считать одним из ,,мифов XX века"».

Мы привели эти цитаты, естественно, не для того, чтобы «опровергнуть» статистическую теорию погрешностей, а для того, чтобы отослать заинтересованного читателя к соответствующей литературе. Эти вопросы рассмотрены в трудаж В. П. Перова (1959), Л. Т. Кузина (1962), И. Б. Челпанова, В. Я. Катковника, Р. А. Полуэктова (1963-1965), С. Я. Виленкина (1967), И. Б. Челпанова и Е. П. Гильбо (1975), П. Е. Эльясберга (1978-1983) и других авторов.

8-10. ОПТИМАЛЬНАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ ЭКСПЕРИМЕНТА

С УЧЕТОМ ЗАТРАТ ВРЕМЕНИ

НА ПОДГОТОВКУ К ИЗМЕРЕНИЯМ

Располагая видом функциональных зависимостей достигаемой точности от затрат времени (рис. 8-11), можно ставить вопрос о сознательном планировании оптимальной или рациональной затраты времени для наиболее эффективной постановки процесса измерений. Для этого необходимо сформулировать формаль-вый критерий эффективности.

Подобные критерии пшроко используются в расчетах экономической эффективности самых различных отраслей техники и представляют собой чаще всего отношение затрат к размеру достигаемого эффекта, т. е. цену единицы получаемой продукции. Так, эффективность работы автомобиля характеризуется потреблением горючего на 100 км пробега, эффективность оборудования электростанции - ценой 1 кВтЧ выработанной электроэнергии, а эффективность использования электрооборудования - частью используемой в среднем мощности, при-ходяш,ейся на 1 кВт его номинальной, т. е. установленной мощности, и т. д.

Основным требованием, предъявляемым к таким оценкам, является требование их линейности, т. е. чтобы установленная таким образом «цена» единицы продукции оставалась постоянной как для 1-го, так и для 101-го километра пробега автомобиля, как для 1-го, так и для 1001-го киловатт-часа выработанной энергии и т. д.

Оптимальная эффективность эксперимента. Если не учитывать затрат времени на подготовку эксперимента, то эффективность эксперимента при линейной шкале цены определяется отношением Е = Alt (градаций/ч). При фактической зависимости А f (t) (рис. 8-12, а) данное значение эффек-гавности Е достигается дважды: один раз при малой затрате времени i, когда Е = Ajti, и другой раз при. большой затрате времени 4, когда Е = Ajt. Отсюда ясно, что максимально возможное значение эффективности, оцениваемое как отношение числа различимый градаций А полученного результата к затратам времени t, достигается при