3. При Дс. и До погрешность исходных данньга полностью определяется

погрешностью Д , там как при этом Д = ti.\ -f Дяг Д,, . Если это

значение Ди. д вполне устраивает экспериментатора, то нет нужды в организации многократных измерений и их статистическом усреднении. Если же возникает вопрос о необходимости снижения Ди. д, то решение о целесообразности проведения многократных наблюдений с последуюпщм усреднением или же замены СИ на более точные должен решаться путем специального исследования.

Сопоставляя между собой все три случая, следует заключить, что для обеспечения наибольшей эффективности эксперимента нет смысла уменьшать случайную погрешность аппаратуры больше, чем до Дс. и ДоЗ» увеличивать объем выборки усредненных наблюдений имеет смыслтолько до тех пор, пока

величина /"(Д -- Д)/» не будет сопоставима с погрешностью адекватности

модели исследуемого явления или систематической составляющей погрешности СИ.

8-8. ПРИМЕР ЗАВИСИМОСТИ

ДОСТИГАЕМОЙ ТОЧНОСТИ УСРЕДНЕННОГО РЕЗУЛЬТАТА ОТ ВРЕМЕНИ УСРЕДНЕНИЯ

Рассматривая вопрос о повышении точности путем статистического усреднения, обычно полагают, что точность с увеличением числа п усредняемых отсчетов возрастает как Уп, ибо = ajyU. Это, однако, справедливо лишь при полном отсутствии систематических погрешностей и абсолютной независимости отсчетов между собой, т. е. полном отсутствии их взаимной корреляционной связи. Эти допущения используются настолько широко и часто, что нелишне рассмотреть на конкретном примере, к чему приводит присутствие хотя бы небольшой доли неисключенных систематических погрешностей.

Пусть для измерения суточных колебаний температуры воздуха вне помещения используется канал ИВК с датчиком в виде малоинерционного термометра сопротивления с временем установления выходного сигнала = 0,4 с. Канал аттестован допускаемым пределом приведенной погрешности ул =1%. случайная погрешность (см. § 4-7) составляет yt = ОАУцщ = 0,4%, а систематическая - е = 0,37цп = 0,3%. Период изменения измеряемой величины Т = 1 сут = = 86 400 с, а формы кривой изменения температуры близки к синусоидальной. Частота отсчетов выбрана в соответствии с временем установления сигнала датчика, т. е. tf = 0,4 с. Число усредняемых отсчетов и = t/tt может быть любым в соответствии с общей затратой времени t на их получение.

В указанных условиях, кроме систематической погрешности канала, должны быть учтены динамические погрешности, которые также являются систематическими. Полагая, что термометр сопротивления является динамическим звеном первого порядка, его динамическая погрешность (см. § 1-5) отрицательна: 7д » « -О.БюЧ. Согласно действуюшзм стандартам, время установления сигнала СИ определяется как время, по истечении которого приведенное значение динамической погрешности при ступенчатом входном воздействии равно 1%, независимо от класса точности. Отсюда в первом приближении приведенная динамическая погрешность датчика по истечении времени t, выраженная в процентах, УJ = (tilff. Для заданного t эта погрешность является систематической и должна суммироваться с систематической погрешностью 6 измерительного канала.

Кроме того, необходимо учесть динамическую погрешность от усреднения мгновенных отсчетов синусоидального процесса за время t, сравнимое с периодом Т этого процесса (рис. 8-10), состоящую в том, что вместо фактической кривой процесса х (f) = sin ф (сплошная кривая на рис. 8-10) в результате усреднения за время t мы будем получать отсчеты, лежащие на штриховой кривой рис. 8-10 вида

.(ОХ.«Щф,

Рис. 8-10

где Д<р = ntlT. Особенность этой погрешности состоит в том, что она возрастает, как показано в [32], с квадратом времени как

Vycp««(if/H6)-100%.

Эта Погрешность, как и динамическая погрешность датчика Тд» всегда отрицательна, т. е. приводит к уменьшению амплитуды и поэтому должна суммироваться с -уд арифметически. Однако систематическая погрешность 6 измерительного канала ИВК (см. рис. 1-10, е) в одной части диапазона канала может быть положительной, а в другой - отрицательной. Поэтому их суммирование (§ 3-4) произведем по формуле

62 = У(тд+туср) + в = VWilt) + (10я)б (tITYY +

Полагая, что при уфеднении п = tlti отсчетов случайная погрешность канала убывает как Уг/Уп = yi для результирующей погрешности (в процентах) получим

V2 = VT(m4l¥IWWTQ + yt VWt- «8-3)

Характер кривой изменения достигаемой точности от затраты времени можно представить более наглядно, если воспользоваться численным выражением точности А как числа различимых градаций измеряемой величины: А = 1/(2у) или А = 50/2, где - в процентах.

Рассмотрим в этих условиях четыре возможных режима измерений и проследим соответствующие им кривые изменения достигаемой точности А в функции от общей затраты времени на получение п усредняемых отсчетов.

Режим первый. Никаких дополнителышх мер для повышения точности не принимается (6 = 0,3%, yj = 0,4%), лишь только производится усреднение п = tlti отсчетов. Подстановка этих данных в формулу (8-3) дает зависимость А = f (f) (кривая 1 на рис. 8-11). Вначале точность растет как А = d, но далее прирост точности резко замедляется. Скорость, соответствующая зависимости Л = Ci yi, наблюдается лишь в области п = 2, а далее происходит еще большее

замедление прироста точности. Максимум точности (т». = 6 = 0,3%) достигается при усреднении п я* 2000 отсчетов, а при дальнейшем увеличении числа усредняемых отсчетов вместо прироста начинается резкое падение точности, стремясь к А = cjfi.

Это наиболее широко применяемый на практике режим использования измерительных каналов ИИС и ИВК. Спрашивается, в каких же пределах числа п усредняемых измерений правомерно в этом случае применение оценки в виде = yffl/n Приб.чиженно только в пределах от п = 2 до и = 3.

Режим второй. С целью повышения точности перед каждой серией усредняемых отсчетов производится проверка канала по образцовой мере и вводится постоянная поправка. Такой режим использования СИ был рассмотрен в § 4-7, где бы.чо показано, что таким путем систематическая погрешность может быть снижена в среднем до 0,77о случайной погрешности. Полагая закон распределения случайной погрешности нормальным и что нормируемая погрешность была указана с доверительной вероятностью Рд == 0,95 (норм = 1>95), для оценки оставшейся систематической погрешности имеем: 6 = 0,77 0 = 0,77 7/1,95 = = 0,77-0,4/1,95 = 0,16%. Зависимость А = f {i) для 6 = 0,16% и т,- = 0,4% , вычисленная по?формуле (8-3), приведена на рис. 8-11 в виде кривой 2. Она проходит несколько выше кривой /, но имеет аналогичную форму. Максимум точности = 6 = 0,16%) достигает также при п 2000, а соотношение у -

= Tj/V" справедливо в пределу п от 3 до 5. В пределах и от 10 до 40 точность возрастает пропорционально э в пределах п от 40 до 300 - пропорционально

На кривых J w 2 кресшками отмечены точки, соответствующие усреднению п = 45 и п = 100 отсчетов согласно ГОСТ 8.207-76 (см. § 4-7), когда достигаются погрешности у. = 0,36% (вместо у. = 6 = 0,3%) и у, - 0,2% (вместо у - = 6 = 0,16%). Такая затрат-а времени с целью повышения точности усредненного результата вряд ли целесообразна. Так, например, при пятикратном сокращении затрат времени (точка п = 9 на кривой 1) погрешность составляет у = = 0,4%, т. е. пятикратное увеличение затрат времени снижает погрешность результата с 0,4% до 0,36% (всего на 1/10 часть).

Режим третий. В § 4-7 указывалось, что наибольшее повышение точности может быть достигнуто только при одновременном введении и автоматической коррекции систематической погрешности перед каждьм измерением, и статистического усреднения всех получаемых скорректированных отсчетов. Естественно, что автоматическая сквозная поверка канала (включая чувствительность датчика) с периодом повторения tt = 0,4 с может быть осуществлена лишь при пол-, ной автоматизации поверок, введения поправок и статистической обработки скорректированных отсчетов. Подобные методы разработаны, например, в работе [8], когда в термометр сопротивления, установленный на объекте, подается короткий импульс тока, нагревающий лишь его чувствительный элемент на заранее известный скачок температуры. В этом случае (см. § 4-7) пределом повышения точности является только систематическая погрешность образцовой меры и метода поверки. Пусть в данном примере она составляет 6 = 0,05%.

Такому режиму измерений на рис. 8-11 соответствует кривая S, имеющая максимум точности (-у, = " = 0,05%) при усреднении п- 1600 отсчетов. Однако

и эта кривая соответствует соотношению у = yjn (Л - Cj "]/) лишь на участке ft = 5 и п = 10. На участке п от 10 до 100 она идет как Л = Cg на участке п от 100 до 1000 - как Л = Cg ГПри таком режиме введения поправок (см. § 1-6 и 4-7) одновременно с устранением систематической погрешности измерительного канала происходит удвоение дисперсии его случайной погрешности. Поэтому в формулу (8-3) при вычислении кривой 3 должно подставляться е = 0,05% и т = 2-0,42 = 0,32. Вследствие этого кривая 8 при п < 4 проходит на рис. 8-11 ни.же кривой 2.

Режим четвертый. Допустим, что путем сверхтщательной установки нуля и чувствительности канала полосу его погрешностей по всей длине диапазона