а равным 5/3 = 1,67, и уровни варьирования фактора 6 назначаем равными -Б, -3, О, +3, +5 мм.

В результате этого получаем эври-сшческий прямоугольный план эксперимента, представленный на рис. 8-9, а и состоящий в определении выходного напряжения U датчика при трех значениях температуры в каждом из пяти сечений при указанный выше значения;х 6, т. е. состоящий из 15 опытов.

Такой план является существенно ненаалценным (15 опытов для определения 6 коэффициентов), поэтому его приближение по формальным признакам к рототабельиому с одновременным приближением и к насьпценному может быть проведено просто отбрасыванием избыточных опытов, например, так, как это показано на рис. 8-9, б, что обеспечивает .распределение опытов по уровням фактора 6 в виде 1--2-3- 2-1. Это дает одновременно с приближением к рсютабельности сокраш,ение общего числа опытов с 15 до 9.

Однако, имея перед собой наглядную картину размещения опытов по кривым поверхности отклика (рис. 8-8), раплональнее опираться не на формальные конкретно проанализировать.

-5 -3 В)

5 мм

-5 -3 г)

S мм

Рис. 8-9

признаки рототабельного плана, какие именно из 15 точек плана обеспечивают усреднение каждого из коэффициентов а, модели (8-2).

Так, коэффициент Яо вычисляется как среднее по всем 15 опытам. Значение коэффициента а, т. е. наклона характеристик, определяется только 12 удаленными от центра точками, а три точки при 6 = О не вносят вклада в его определение. Коэффициент Og при 6* также определяется расположением 12 удаленных от центра -точек и не зависит от трех центральных. Коэффициент при гиперболическом члене 6в определяется прежде всего разностью расстояний меясду кривыми в их крайних участках и также не зависит от положения центральных точек. И лишь только коэффициент при требует наличия центральной точки при 6 = О, но при зеркальной симметрии положительной и отрицательной ветвей характеристики он просто равен нулю, а при наличии некоторой иесимметрии играет роль малой поправки, учитывающей эту несимметрию, и поэтому может быть определен весьма приближенно.

Таким образом, три опыта при 6 = 0 участвуют лишь в уточнении коэффициентов Яо к Оа» й на точность определения остальных коэффициентов влияют весьма слабо. Поэтому рототабельность плана, т. е. равноточность определения всех коэффициентов модели, нарушается лишь присутствием избыточшлх опытов при 6 = 0. Однако отказ от всех трех опытов при 6 = 0 может привести к тому, что вследствие случайного разброса точек при 6, равном +3 и ±5 мм, коэффициент flg может получить такое значение, что кривые вообще не будут проходить через фактические точки при 6=0. Поэтому хотя бы одна из них должна быть сохранена. Как видим, результат конкретного анализа существенно разошелся с формальными положениями теории планирования, в чем и состоит его ценность для практики.

Подобный конкретный анализ целесообразен и для выбора уровней варьирования второго фактора - температуры 0. Для сокращения затрат времени на проведение эксперимента целесообразно выбрать нижний уровень варьирования температуры равным не заранее назначенному вначению 0 = 20 °С, а тому значению температуры, которое фактически будет иметь место в цехе в момент проведения испытаний. Оно должно быть зафиксировано в протоколе (или памяти

ЭВМ) и использовано в дальнейшем при расчете значений коэффициентов. Тогда большая затрата времени потребуется на ожидание установивши;хся значений лишь двуж другая уровней температуры.

Но для модели гиперболоида в пределе достаточно не трех, а всего двух уровней факторов. При этом отказ от использования третьего, дополнительного уровня температурн, введенного лишь для приближения к рототабельности, дает почти двойное сокращение общш затрат времени на проведение испытаний. Никакие другае методы повышения эффективности эксперимента не дают подобной экономии.

Для повышения точности определения температурного коэффициента диапазон варьирования температурн целесообразно иметь наибольшим, т. е. оставить лишь уровень в = 60 °С, а уровень в = 40 °С - исключить.

Получеипяй тахшм путем, жотя и ие рототабельшяй, но зато оптимальный по эффективности и достаточно экономили план эксперимента показан на рис. 8-9, в. Он содержит, так же как и план на рис. 8-9, б, девять опытов и проводится в следующем порядке. Фиксируется значение температуры датчика, т. е. температуры помещения, где проводятся испытания, и проводятся измерения при 6, равной --3, О, -3 и -5 мм. Затем датчик выдерживают в термостате для установлений i-емпературы 0 = 60 °С и проводятся измерения при 6, равной -5, -3, +3 и +D мм.

План является ненасыщенным, так кан для определения 6 коэффициентов используется 9 опытов, но наличие трех избыточных опытов обеспечивает возможность усреднения и оценки случайной составляющей погрешности датчика.

В целях предельной экономии времени можно перейти к насыщенному плану эксперимента из 6 опытов (рис. 8-9, г). Здесь при исходной температуре датчика проводятся 4 опыта при значениях 6, равгплх -5, О, -ЬЗ, +Ь мм, однозначно, без усреднешя определяющие коэффициенты Oq. Oi. и а, а для определения коэффициентов и (также без усреднения) проводятся два дополнительных опыта при в = 60 °С и б = ±5 мм.

Однако при насыщенном плане, когда число искомых коэффициентов равно числу опытов, модель находится вообще без усреднения, т. е. с ошибками, равными случайным погрешностям исходных данных, а главное - размер этих погрешностей остается неизвестным, так как дангпле для их оценки отсутствуют. Поэтому переход от оптимального по эффективности плана с 9 опытами к насыщенному плану с 6 опытами допустим только при уверенности в пренебрежимо малом размере случайных погрешностей как используемой аппаратуры, так и исследуемого объекта (в нашем случае - датчика).

Раплональность же сокращения затрат времени на несколько минут для проведения трех дополнительных отсчетов при длительное™ всего эксперимента более двух часов также, естественно, весьма спорна.

Выявившееся в этом примере решающее влияние на эффективность эксперимента соотношения затрат времени на сами измерения (несколько минут на три отсчета) и на подготовку к измерениям (два часа на установление нужной температуры) будет подробнее рассмотрено в § 8-10.

Если же исследуемый индуктивный датчик предназначен не для измерения перемещений, а является, например, датчиком манометра или динамометра, то в рассмотренные планы должны быть внесены существенные коррективы. Дело в том, что в этом случае большая доля случайной погрешности датчика определяется механическим гистерезисом его упругого элемента. Для получения усредненной характеристики такого датчика порядок проведения опытов должен быть выбран с учетом гистерезисного цикла его упругого элемента.

При испытании таких датчиков обычно предусматривается 125%-ная перегрузка сверх номинального значения измеряемой величигпл. Поэтому уровни измеряемой величины (указанные условно в тех же единицах 6) будут устанавливаться в следующем порядке: поло5кительная перегрузка (здесь, как и далее, без отсчета показаний) --6,25, затем --5, --3, О, -3, -Б, -6,25 (отрицательная перегрузка), -5, -3, О, Н-З, +5. Аналогачным образом и при 0 = 60 "С: --6,25, --5, +3, -3, -5, -6,25, -Б, -3, --3, +S. Усреднение характеристики датчика вида (8-2) происходит по всем 18 отсчетам, а получаемая оценка с. к. о. погреш-

ности позволяет контролировать качество датчика в отношении его погрешности от гистерезиса.

Рассмотренные примерв! позволяют показать, как могут использоваться основные положения теории планирования эксперимента для сознательной оценки значимости каждого опыта плана с целью повышения эффективности эксперимента в целом, хотя получаемые планы могут и существенно отличаться от формальных рекомендаций этой теории.

8-7. ОПТИМАЛЬНЫЙ ВЫБОР ТОЧНОСТИ

СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ СООТНОШЕНИЯ ДИФФУЗИОННОСТИ ОБЪЕКТА И ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

До сих пор, говоря об области разброса исходшлх 8кспериментальны;х данных, мы принимали во внимание лишь погрешности СИ и остаточную неадекватность принятой модели. Но кроме этих двух составляющих разброс данных вызывается еще и невоспроизводимостью от опыта к опыту, или диффузностью, самого исследуемого явления. Так, например, рост человека колеблется в такт с ударами сердца и частотой дыхания, длина металлического бруска - с микроколебаниями его температуры, максимумы давления в цилиндре двигателя внутреннего сгорания случайным образом существенно разнятся меяеду собой и т. д.

Поэтому разброс исходшлх данных (обозначим его оценку Аи. д) всегда складывается из трех составляюпщх: До - диффузности объекта измерений. Дм - погрешности адекватности модели и Д. и - погрешности средств измерений. Эти составляющие, как правило, можно считать некоррелированными,

когда и. д = уо + м + 0. и (более строгие методы суммирования и выражения погрешностей были рассмотрены в гл. 2, 3 и 5).

Для раплонального выбора погрешности Дс. и важно ее соотношение при том же допущении с суммарной погрешностыб объекта и модели Aq+m =

= ]/o + M- Для упрощения последующих рассуждений предположим, что модель выбрана достаточно адекватной (Дщ < Ag. и и Дм<- о)

и размером

можно пока пренебречь. При этом возможны три случая.

1. Обычно экспериментатор стремится использовать как можно более точную аппаратуру с Дс. и < Др. При этом результирующий разброс исходных

даншлх будет Д„д = /До+Дс и"о - будет определяться диффузностью объекта. Хорошо это или плохо? Безусловно, плохо. Чтобы усреднить этот разброс, необходимо провести большое число отсчетов, но излишне точная аппаратура требует, как правило, и больший затрат времени на каждое измерение. Если же в этих условиях уменьшать точность аппаратуры, то до тех пор, пока Дс. и < До/3> погрешность измерений будет оставаться практически неизменной, а затраты времени будут существенно меньшими, а следовательно, эффективность эксперимента будет возрастать.

Таким образом, при Дс. и < точность измерений не может быть заметно повышена использованием более точных СИ. Единственным путем повышения точности остается статистическая обработка многократных отсчетов, поэтому повышение эффективности эксперимента в этом случае может быть достигнуто путем снижения точности используемых СИ.

2. При Дс. и !« До погрешность исходных данных составляет Д и. д =

= 1/Дц--Д l,4A(j, т. е. возрастает всего на 40% по сравнению с тем, когда Дс. и < До- При проведении многократных отсчетов и их усреднении в "j/n раз уменьшаются как влияние Aq, так и влияние случайной составляющей Дс. и- В этом случае статистическая обработка весьма эффективна. Однако, стремясь к увеличению объема обрабатываемых выборок, нельзя забывать, что систематические погрешности при усреднении не уменьшаются. А систематическими являются как погрешность Д адекватности модели, так и часть погрешности Др „.