а) Ахг

Рис. 8-6

Для размещения более трех уровней можно по ассоциации установить следующее приближенное правило. В теоретически обоснованных оптимальных планах (см. табл. 8-7) дополнительные уровни звездных точек отнесены иа звездное плечоа = 1,4 при Л = 2, наа = 1,7 при ft = 3 и наа = 2 при k = 4. Примем приближенное среднее значение а = 1,5, и в эвристическом плане последующие уровни, кроме трех (или двух) центральных, будем разносить между собой на Да = 0,5.

Используя эти два положения, попробуем составить эвристический план для модели =*f (%, Xg), в которой входит в многочлен (включая нулевую степень) в семи различных степенях, а % - в трех. Вид такого плана с семью уровнями для Xl и тремя - для % показан на рис. 8-6, а, а иа рис. 8-6, б представлен эвристический план для модели, в которую как х, так и х входят (включая нулевую степень) в четырех различных степенях. Такие планы будем называть прямоугольными.

Дальнейшее совершенствование эвристических прямоугольных планов может вестись в двух направлениях: в приближении их к рототабельньш или в приближении к насыщенным. Рассмотрим оба эти направления.

Приближение эвристических планов к рототабельным. Сравнивая между собой прямоугольный нерототабельный план (рис. 8-3, а) и рототабедьный план (рис. 8-3, б), можно заметить их следующие внешние признаки. Число опытов в обоих планах остается одним и тем же (9 и 9). Число уровней варьирования факторов по каждой из осей в рототабельном плане равно 5, а в прямоугольном - трем, т. е. к прямоугольному плану со всех сторон добавляется по одному уровню, на которые переносятся точки, нарушающие «округлость» плана. Внешним, чисто формальным итогом такого переноса является изменение размещения опытов по отдельным уровням плана: в прямоугольном плане оно было 3-3S, а в рототабельном стало 1-2-3-2-1. Геометрически это можно представить себе и по-другому - как поворот исходного квадрата точек 1, 2,3,4 ка 45° в положение 5, 6, 7, 8.

Отсюда может быть выдвинуто следующее эвристическое предположение: если внесение таких изменений превратило прямоугольный план второго порядка (рис. 8-3, а) в полностью рототабельилй план (рис. 8-3, б), то внесение подобных же изменений в прямоугольные планы более высоких порядков позволит приблизить их в какой-то степени к рототабельным. Однако степень такой близости остается, естественно, неизвестной, поэтому полученные подобным путем планы следует именовать лишь «близкими к рототабельным».

Улучшенные таким способом планы, представленные на рис. 8-6, изображены на рис. 8-7. В плане иа рис. 8-7, а на какдой из осей добавлено по два уровня для звездных точек и на них перенесены внешние угловые точки исходного плана рис. 8-6, а. В плане на рис. 8-7, б также добавлены дополнителььпле уровни для звездных точек и на них перенесены угловые точки внешнего квадрата. Кроме того, перенесены на оси и обозначены как звездные и четыре угловые точки внутреннего квафата. Все перемеш,енные точки обозначены на новых планах как

а) 5-

113 3

3 3 11

Рис. 8-7

звездные, а места их бывшего размещения (в прямоугольном плане) показаны кружками.

В результате этого распределение точек по уровням переменных Xi и х на рис. 8-7, б вместо 4-4-4-4 стало /-2-3-4-8-2-1, а на рис. 8-7, а распределение точек по уровням фактора «g вместо 7-7-7 стало 1-5-9-5-1, а по уровням фактора х вместо 3-3-3-3-3-3-3 Стало 1-/-3-3-5-3-3- /-1, т. е. измененные таким образом планы существенно приблизились к рототабельный.

Однако приближение плана эксперимента к рототабельиому - не самоцель, а средство повышения точности получаемого решения. Так, например, то, что в рототабельном плане на рис. 8-3, б почти половина точек (точки 5, 6, 7, 8) разнесена на расстояние, в 1/2 = 1,41 раза большее, чем в плане на рис. 8-3, а, обеспечивает (см. рис. 8-4) в среднем по всему эксперименту приблизительно в 2 =1,19 раза меньшую ширину полосы неопределенности получаемого решения при том же разбросе Д исходных экспериментальных данных.

Но это повышение точности получаемого решения от перехода к рототабельиому плану эксперимента далеко не всегда приводит к такому же повышению эффекта внести эксперимента. Дело в том, что при переходе к рототабельиому плану число уровней варьирования факторов возросло с трех до пяти. Если одним из этих факторов яв.чяется, например, температура и для достижения ее установившегося значения необходимо время, равное, например, двум часам, то общая затрата времени возрастет с четырех до восьми часов, так как кроме исходной температуры, которая не требует выдержки времени при ее установке, при первом плане нужно устанавливать два уровня температуры, а при втором - четыре.

Если бы такое же увеличение затрат времени иа проведение измерений было использовано не для перехода на рототабельный план (рис. 8-3, б), а для удвоения выборки исходных данных при плане на рис. 8-3, а, то точность увеличилась бы в "1/2 = 1,41 раза, в то время как переход к рототабельиому плану дает повышение точности результата ли.шь в 1,19 раза, т. е. в подобных условиях рототабельный план с пятью уровнями варьирования оказывается существенно менее эффективным, чем прямоугольный план с тремя уровнями варьирования.

Если же в числе варьируемых факторов отсутствуют такие медленно устанавливающиеся факторы, как температура, вакуум, концентрация и т. п., а все факторы являются быстро устанавливающимися (например, механические силы, электрические напряжения и т. д.), то рототабельшле планы будут, безусловно, более эффективными. К сожалению, такие вопросы существующая теория планирования не рассматривает и преимущество рототабельных планов преподносится читателю как абсолютная истина.

Приближение эвристических планов к насыщенным. В связи с изложенным часто возникают задачи приближения эвристических прямоугольных планов не к рототабельным, а к предельно экономным, насьш1,енным планам. Для этого

Рис. 8-8

выбор оптимального размещения уровней варьирования факторов удобно производить путем нанесения точек на семейство кривых поверхности отклика, подобно тому, как это было показано на рис. 8-5.

Рассмотрим это на конкретном примере. Пусть задача состоит в получении градуировочных характеристик большой партии индуктивных датчиков, которые будут использоваться для ввода данных измерений в ИВК. При этом ставится задача коррекции с помощью процессора ИВК как нелинейной гра-дуировочной характеристики датчика, так и его температурной погрешности.

Для этого путем предварительгплх испытаний нескольких датчиков был получен графический вид этих характеристик датчика (рис. 8-8) в виде семейства кривых; и = / (6, 0), где U-

выходной сигнал датчика. В, 6 - измеряемое перемещение, мм, 0 - температура датчика, °С.

При выборе вида модели, описывающей это семейство кривых, старались учесть все их особенности. Кривые U = f (6) изогнуты на концах в разные стороны, поэтому 1 линейную модель U = Оц-г об был введен член аф, а так как эти искривления не всегда симметричны, то в качестве поправки был введен член flgO. Учитывая, что пучок кривых при изменении темперафы имеет рас-ходящийсяхарактер (ср. с рис. 7-2, б), для описания температурной погрешности была использована модель гиперболоида, т. е. кроме члена ав был дополнительно введен член atiQ, отражающий изменение чувствительности к температуре с изменением измеряемого перемещения 6. Таким образом, полная модель семейства характеристик датчика (рис. 8-8) получила вид

t/ = Яо + + + + ав +

(8-2)

Теперь задача состоит в том, чтобы для этой модели спланировать эксперимент массового испытания серийно изготовляемых датчиков, с тем чтобы были определены, внесены в паспорт, а при эксплуатации введены в память ИВК все индивидуальные для каждого экземпляра датчика коэффициенты Ио, fli, as.

Приступая к составлению эвристического плана этого эксперимента, видим, что фактор 6 входит в модель (8-2) в четырех различных степенях (6", 6, 6, 6®), т. е. требует варьирования, как минимум, на четырех уровнях, а фактор 0 входит в (8-2) в двух степенях (0" и 0), т. е. требует варьирования не менее чем на двух уровнях.

Для приближения эвристического плана эксперимента к рототабельному число уровней варьирования должно быть увеличено, например, для фактора о до пяти, а для фактора 0 - до трех. В качестве этих трех уровней варьирования для температуры 0 могут быть приняты уже использовавшиеся при предварительных испытаниях значения 20, 40 и 60 °С. Выбор же уровней варьирования измеряемого перемещения 6 требует дополнительного обсуждения.

Рассматривая кривые на рис. 8-8, замечаем, что в пределах изменения 6 от -2 до --2 мм они остаются близкими к прямым линиям, поэтому для выявления нелинейности, т. е. уточнения коэффициентов к Og при и 6, размещение опытов на этом участке бесполезно. Кривизна характеристик по существу проявляется на участках изменения 6 от -Б до -3 и от -1-3 до -f- 5 мм, т. е. прежде всего должны быть уточнены координаты точек именно этих участков. Поэтому вопреки положениям теории планирования формуле (8-1) и данным табл. 8-7 мы назначаем звездное плечо а крайних уровней равным не 1,41 и даже не 1,5,