даже дать искусственно небольшое отклонение у, то после снятия причины отклонения он вернется к первоначальному прямолинейному положению (устойчивое равновесие). Объясняется это тем, что внешняя сила Р не в состоянии удержать стержень в изогнутом состоянии (внутренняя потенциальная энергия изгиба стрежня V в данном случае будет больше внешней работы Т, которую совершит сжимающая сила Р в результате сбли-

Рис. П. 12. Устойчивость центрально-сжатых стержней

й - расчетная схема; б ~ зависимость сжимающей силы от стрелки выпучивания; s - кривые критических напряжений: / - гипербола Эйлера; 2 -кривая критических напряжений с учетом пластической работы; 3 - кривая критических напряжений с учетом случайных экс-центрнцитетов

жения концов стержня от изгиба, T = Phl, стержень выпрямится).

При дальнейшем увеличении внешней нагрузки Р может наступить такой момент, когда V=T и будут возможны прямолинейная форма равновесия стержня и криволинейная, изгибная. В этом случае при небольшом искусственном отклонении стержня на величину у и снятии причины отклонения стержень останется изогнутым и не вернется к прямолинейному положению. В точке разветвления прямолинейной и криволинейной форм равновесия внешняя сила достигнет своего критического значения Ркр. Дальнейшее, самое незначительное увеличение силы Ркр ведет к резкому нарастанию деформаций и потере несущей способности стержня (рис. И.12, б).

Критическая сила для упругого, центрально-сжатого, шарнир-но-опертого по концам стержня, впервые была определена Л. Эйлером в 1744 г.:

(11.9)

где -модуль упругости металла стержня; / - минимальный момент инерции сечения стержня; / - длина стержня.

Разделив критическую силу на площадь стержня, можно найти критическое напряжение в стержне

где бр - площадь брутто поперечного сечения стержня; г= -f. -радиус инерции стержня; к=11г - гибкость стержня.

Из формулы (11.10) следует, что критические напряжения зависят только от гибкости стержня К (к я Е - постоянные), которая определяется отношением длины стержня к радиусу инерции его сечения. Графически их величина для стали 3 изображена кривой на рис. П. 12,0 (гипербола Эйлера).

При выводе формулы Эйлера предполагалось, что модуль упругости материала имеет постоянное значение. Поэтому для строительных сталей эта формула справедлива только для первой прямолинейной части диаграммы работы стали, т. е. до предела пропорциональности.

Учитывая, что для стали 3 £ = 210Q0 кН/см и апц= = 20 кН/см, можно из формулы (П. 10) получить наименьшую гибкость, выше которой формула Эйлера будет справедлива:

V Опц V 20

Выше предела пропорциональности при определении критических напряжений необходимо учитывать переменный пластический модуль упругости пл (криволинейная часть диаграммы до точки От, рис. II.2), при этом задача усложняется и получить критические напряжения формулой в конечном виде не удается. Эти критические напряжения, определенные сложными математическими выкладками, изображены графически кривой 2 на рис. 11.12,6 (ответвление от гиперболы Эйлера при гибкостях меньше 105).

Абсолютно прямолинейный стержень является идеализированной расчетной схемой. Все реальные стержни в натуре имеют неизбежные отклонения от прямолинейности (случайные эксцентрицитеты /о). Поэтому с самого начала загружения центрально-сжатого стержня в нем возникает изгибающий момент M = Pfo, что ухудшает условия устойчивости стержня и снижает его критические напряжения. Величина случайных эксцентрици-leTOB определяется статистическим изучением реальных стержней. Кривая критических напряжений для центрально-сжатых стержней из стали 3 с учетом случайных эксцентрицитетов приведена на рис. II. 12, в (кривая 3).

кривые критических напряжений, расположенные выше предела пропорциональности, зависят от вида диаграмм работы стали а-8, которые для сталей различных классов существенно отличаются друг от друга по величине параметров, и даже по характеру (рис. И.13, а). Однако если построить диаграммы работы сталей в относительных координатах а/оог (Ооа - напряжение, соответствующее относительному удлинению 0,2%, которое определяет предел текучести От для сталей, не имеющих площадки текучести, и которое так же близко к пределу текучести для сталей, имеющих такую пло-шадку) и е/8о2 (ео2 -относительное удлинение, равное 0,2%, при котором у сталей наступает истинный предел текучести или принимается ус.товным), то диаграммы работы различных сталей будут очень близки между собой, рис. 11.13, б. Действительно, вследствие одинаковости модуля упругости все

Рис. 11.13. Унификация диаграмм работы сталей

а - диаграммы работы сталей различных классов; б - то же, в относительных координатах; е - унифицированная диаграмма работы сталей

диаграммы от нуля идут по единой линии упругой работы до точки Опц/сТаг, которая для всех сталей«0,7. Далее диаграммы несколько расходятся в упругопластической части, но снова сходятся в точке с координатами 0/002=! и 8/8о2«1,7, которые близки к постоянным Значениям для разных сталей. Последующая пластическая часть диаграмм работы снова начинает несколько различаться своим уклоном. Прохождение различных диаграмм через ряд общих точек в относительных координатах и довольно близкое их совпадение позволяют принять для сталей всех классов прочности единую унифицированную расчетную диаграмму работы. Учитывая, что 0о2«0т«/? и ео2=

= ~~~ (где /?»0т -расчетное сопротивление стали), такая унифици-

рованная диаграмма в координатах alR и ё- приведена на рис. П.13, е. Вы-

числение всех параметров, связанных с расчетом на устойчивость элементов конструкций из различных классов сталей, выполнено в наших нормах на основе этой унифицированной диаграммы работы стали.

Таким образом, устойчивость центрально-сжатого стержня будет обеспечена, если напряжения в нем будут меньше критических:

Окрбр. (И.II)

Чтобы не определять для каждого стержня критические напряжения, а иметь дело с расчетным сопротивлением стали R (рав-