С постоянной

a= (6.23)

Величина второго слагаемого при .малых h и больших может стать очень маленькой, поэтому нужно позаботиться о том, чтобы обеспечить необходимую точ-юсть его машинного представления.

Дифференциальная часть ПИД-регулятора получается из (6.17) подстановкой выражения (6.15)

Vd(s)=-K-j-Y(s) (6.24)

Соответствующие дифференциальные уравнения, связывающие Мд(0 иг/(0, име-

" Вид

.•ie5.4 для низкочастотных и высокочастотных аналоговых фильтров и их преобразования в цифровые.

Если регулятор первоначально проектируется на базе аналогового описания, а затем строится его дискретная .модель, при достаточно .малых интервалах выборки производные по вре.мени за.меняются конечны.ми разностями, а интегрирование - суммированием (раздел 3.4). Этот подход будет использован и в данном случае.

Ошибка выходной величины процесса [уравнение (6Л )] вычисляется для каждой выборки

e{kh) = u{kh)-y{kh) (6.19)

Предполагается, что интервал выборки h является постоянны.м. Любые из.менения сигнала, которые .могли подойти в течение интервала выборки, не учитываются (разделы 5.1.3 и 5.1.4).

Существует два типа алгорит.ма регулятора - позиционный и приращений.

Позиционный алгоритм

В позиционном алгоритме (position form) выходной сигнал представляет собой абсолютное значение управляющей переменной исполнительного .механизма. Дискретный ПИД-регулятор и.меет вид

u(kh) = Mq -)- up(kh) + ui(kh) + up(kh) (6.20)

Даже при нулевой ошибке управления выходной сигнал отличен от нуля и опре-.теляется смещением Uq.

В соответствии с уравнением (6.14) пропорциональная часть регулятора и.меет вид

Up(kh)-K-e(kh) (6.21)

Интеграл аппроксимируется конечны.ми разностя.ми

uj(kh) = щЦк -i)h] + K-- e(kh) = uj[(k -\)h] + Ka- e(kh) (6.22)

Главаб. Структуруправлен

dxp) N

, --Г [-xo(0+y(t)\ (6.25) dt

Uo(t) = K-N-\-y(t) + XD(t)] (6,26,

где Xij(t) вводится как переменная состояния (это можно проверить, применив пре-обра.зование Лапласа к уравнениям (6.25) и (6.26) и исключив Хд(0)-Производная в уравнении (6.25) аппрокси.мируется разностью назад

xaikh) = р xalik - 1)/г] + (1 - р) y(kh) (6,27,

1 +-

(6,23,

T+h-N

Следует обратить вни.мание, что аппроксимация разностью назад является численно устойчивой при любых Tj. Используя уравнение (6.27) сов.местно с (6.26), дифференциальную часть ПИД-регулятора .можно представить как

Uo(kh) - р ui\(k - 1)/г] - /С--- (1 - р) \y(kh) --у{(к - \Щ] (6.29)

В дальнейшем считается, что О < р< 1. Если постоянная вре.мени Ту-дифференциального члена [уравнение (6.15)] становится равной нулю (т.е. N~X>), то Р - О и дифференцирование описывается простой разностной аппроксимацией выходного сигнала dy/dt [ср. уравнение (6.17)]. Аналогично, условие Г,/= О ведет к Р = О, что приводит к Up(kh) О, т. е. дифференциальная составляю1цая в регуляторе отсутствует.

Алгоритм приращений

Альтернативны.м подходо.м является алгоритм ПИД-регулятора, в котором вычисляется лишь изменение его выходного сигнала. Алгоритм приращений {incremental form) ПИД-регулятора удобно применять, если исполнительный механиз.м представляет собой разновидность интегратора, напри.мер шаговый двигать*. Другой пример такого исполнительного .механиз.ма - клапан, открытие и закрытие которого управляется импултсами и который сохраняет свое положение при отсутствии входных сигналов.

В алгоритме приращений рассматриваются только из.менения управляющего выходного сигнала от .мо.мснта времени {к - \)h до .момента kh. Алгоритм регулятора записывается в виде

Au{kh) = u{kh) -u[{k-\)h\ = Aup{kh) + Auj{kh) + Aup(kh) (6.30)

Пропорциональная часть алгорит.ма нрирашений вычисляется из уравнения (6.21)

Aupikh) - Up(kh) - uplik -\)h\ = K- [e{kh) - e\{k -\)h]\--K- Ae{kh) (бЗП

и[1Тегральная часть - из уравнсшгя (6.22)

Au,{kh) = u,ikh) - ui\ik -\ЩКа- e(kh) (fi--

6.5;gg{iM3ai4HR ПИД-регулятора 241

кдифференциальная часть - из уравнения (6.29)

oikh) = р Aujj\{k - \)h\ - /С--- (1 - р) [Ay{kh) - Ау\{к (6.33)

my{kh) yikh)-y\{k-\)h]

С вычислительной точки зрения алгоритм чрезвычайно прост. Для его ирименс-г.ия, как правило, достаточно операций с плавающей точкой ординарной точности. В этом алгоритме пе возникает проблем из-за насыщения (раздел 6.5.4). При переключении с ручного режи.ма на автоматический регулятор, вычисляющий npnpaujte-1ШЯ, не требует присвоения начального значения управляющему сигналу (мд в нози-циониом алгорит.ме, уравнение (6.20). Исполнительный .механиз.м .можно иривести в необходимое положение во вре.мя пуска как при ручном, так и при автоматическо.м управлении.

Пебольпш.м недостатком алгоритма приращений является необходимость учитывать интегральную составляющую. Опорное значение сокращается как в пропорциональной, так и дифференциальной частях, начиная со второй выборки после его изменения. Поэтому, если иснользуется регулятор на базе алгоритма приращений без интегральной составляющей, возможен дрейф управляемого процесса от опорного значения.

6.5.2. Определение частоты выборки в системах управления

Оцифровка аналоговых сигналов и определение необходимой частоты выборки обсуждались в разделах 5.1.3 и 5.1.4. Определение адекватной частоты выборки для процесса управления представляет собой нетривиальную задачу и скорее может рассматриваться как искусство, чем наука. Слит ко.м .малая частота выборки может сни-чить эффeктшнocть управления, в особенности способность систе.мы ко.мпенсиро-«ать возмущения. Однако если интервал выборки превосходит время реакции процесса, воз.мущениеможет повлиять на процесс и исчезнуть прежде, чем регулятор Н1ициирует корректирующее действие. Поэто.му при определении частоты выборки важно учитывать как динамику процесса, так и характеристики возмущения.

С другой стороны, частота выборки не должна быть слишком высокой, так как это приведет к повышенной загрузке компьютера и износу исполнительного механизма. Таким образом, определение частоты выборки представляет собой компро.мисс .меж-требованиями дина.мики процесса и доступной производительностью компьютера "других технологических механиз.мов. Стандартные тшфровые регуляторы, работа-*Щие с небольшим числом контуров управления (от 8 до 16), используют фиксированную частоту выборки порядка долей секунды. На частоту выборки также влияет соотношение сигнал/шум. При малых значени-этого соотношения, т, е. при болыних шумах, следует избегать высокой частоты •>ЗДрки, потому что отклонения в измерительном сигнале скорее связаны с высоко-"тотным шумом, а нес реальными изменениями в физическом процессе.

Славная задача первичной обработки cHrnajm заключается в его оцифровке и Следующем восстановлении по набору дискретных значений. Теорема дискретиза-"Ч (раздел 5.1.3) fie учитывает продолжительность вычислений для восстановле-сигнала, и в теории это время может быть бесконечным. Более того, стнлшл, ана-