вых фильтров, динамика фильтра высокого порядка более эффективна для удаления нежелательных высоких частот.

Два наиболее важных типа ФПЧ - скользящего среднего и экспоненциального сглаживания {exponentialsmoothing). ФНЧ, используемые в промьннленности, почти всегда базируются на одном из этих простых фильтров.

Пример 5.8

Фильтр скользящего среднего - простейший ФНЧ

Простой фильтр скользяniero среднего получается, если принять все пара-метргл Oj- в уравнении (5.9) равными нулю. Если необходимо простое усреднение, то все весовые коэффициенты равны и дают в сумме единицу. Например, фильтр скользящего среднего с пятью входными отсчетами имеет вид

Tj{kh)=- [y{kh) + ... + ij\{k-A)h

Если операция фильтрации производится не в режиме реального времени, то величину сколь,зяп1его среднего можно подсчитать, используя измерения как до, так и после заданного момента времени kh. В этом случае отфильтрованное значение не отстает ио времени относительно входных значений. Непричинный простой фильтр скользящего среднего по пяти значениям имеет вид

y{kh)-l-[y[{k-2)h] + ...+y[{k + 2)h\)

Если величина на выходе представляет собой усреднение но последним и выборкам, то она смещается на 1 + п/2 циклов. При больпшх значениях и вы-ходгюп сигнал становится более гладким, но при этом все больн1е отстает по времени. Импульсная характеристика фильтра скользя niero среднего конечна. Для входного импульса в момент t выходной сигнал после момента t п становится нулевым.

Сколь,зянще среднее - это простой метод, но он имеет определенные офани-чения. При использовании одинаковых коэффициентов фильтр может быть излишне пнертнглм и недостаточно быстро реагировать на реальные изменения во входном сигнале. С другой стороны, если коэффициенты различны и убывают для больших значений индекса и. то это затрудняет анализ свойств фильтра.

Экспоненциальный фильтр {exponential filter) - это авторегрессионный фильтр скользящего среднего первого порядка, определяемый следующим уравнением

y{kh) - а y[{k - \)h] ь(1 --a)-y{kh) (5.10)

Отфильтрованное значение.(Л/г) вычисляется суммированием предглдупхего значения отфильтрованного сигнала у\{к - 1)/;] и последнего значения y{kh) измерительного сигнала с весовыми коэффициентами. Коэффициент а лежит в интервале между О и 1. Уравнение (5.10) можно иеренисать в виде

y{kh)-y\{k - \ )h\ t- (1 - а). {y{kh) -y\{k - \)h\)

т. е. экспоненциальный фильтр уточняет отфильтрованное значение на выходе срау, как только на вход поступает новое значение. Это уточнение невелико и становится ец. меньше для значений а, близких к 1; в этом случае появляется эффект инерцнонност;; Уменьп1ение шумовых компонентов выходного сигнала происходит за счет слабого с;, ответствия с рею\ышми изменениями на входе. При а, близком к нулю, величина,-, правки растет. Соответственно, фильтрация М1ума уменьшится, однако изменения сс-ходного сигнала будут отслеживаться более точно. При а = О сигнал на вы.хо,> идентичен сигналу на входе. Влияние величины а на реакцию фильтра при скачке за-шумленного входного сигнала проиллюстрировано на рис. 5.23.

Пример 5.9

Интерпретация экспоненциального фильтра как фильтра скользящего среднего

Экспоненциа,1ьный фильтр можно интерпретировать как фильтр скользящего среднего, у которого в уравнении (5.9) бесконечное число членов с коэффициентами bj и отсугствием членов с коэффициентами а. Коэффициенты bj быстро уменьшаются д.тя более старых значений во входной последовательности. Этот результат можно получить, переписав уравнение (5.10) как

Lj(kh) а y[(k-\)h] + (\-a)-y{kh) =

- {\-a)y{kh) + a-{\~a)-y[{k-\)h

o?-y[(k-2)h

= (1 - a) • y(kh) + a-(\ -a)-y[(k- i)h] + y[(k - 2)h] + y[(k - 3)h =

= (1 -a)-y(kh) + a-(\ -a)-y[(k- \)h] + ... + a" y\(k - n)h] + ...

ГЯС Ь = \ - a, by = a { \ - a),b2 = a? (1 - a) nr. д. Так как О < a < 1, то коэффициенты для более старых значений убывают по экспоненциальному .закону. Например, при а 0.5 коэффициенты равны 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625,а нри а = 0.9 - 0.1, 0.09, 0.081, 0,072, ... Другими словами, если а стремится к 1, то фильтр имеет более долгую "память" и более эффективно сглаживает входноП сигнал. Из-за экспоненциального убывания значений коэффициентов фнльтр и получил свое название.

Экспоненциальный фильтр в действительности представляет собой дискретньп; -риант аналогового ФНЧ первого порядка с единичным статическим коэффициент усиления (см. ра.здел 5.3.1) и передаточной функцией, аналогичной уравнению (5.4)

Y(s) Y(s) 1 i-s-T

Постоянная времени Т равна R Слибо L/Rn зависимости от вида фи..чьтра./1 ференцнальное уравнение цифрового фильтра

dm dt

(3"

1.0-

а»0

1.0 0.5 О

а = 0.5

1.0-0.5-0

1.0 0.5 О

1.0 0.5 О

а = 0.95

а = 0.98

Рис. 5.23. Влияние сглаживающего экспоненциального фильтра первого порядка. Параметр а имеет значение О, 0.5, 0.9, 0.95 и 0.98. При малых значениях а фильтр до-•о.чьно точно отслеживает изменения во в.ходном сигнале, однако сохраняется высокий .вровень HJVMa. При больших значениях а фильтр вносит .-значительное запаздывание, 4 шум заметно подавляется. При а О вы.ходной сигнал фильтра идентичен входному