-/дг [частотаНайквиста]

fo/fs 0.5

Рис. 5.7. Наблюдаемая частота/ как функция истинной частоты/синусоидального сигнала при частоте выборки/,;. Наблюдаемая частота равна иститюй частоте, только если Л<0.,5,т.е.Л>2/

Оказывается, что при частоте выборки/., меньшей удвоенной частоты исходного ситала/ последний нельзя восстановить на основании дискретных значений. Граничная частота называется частотой Найквиста {Nyquist frequency)

h-V (5Д)

Если ана7к:1говый сигнал содержит лгобые частоты, превышагощие /дг/2, то эти высокочастотные компоненты появляются в последовательности данных выборки как гармоники более низкой (псевдо) частоты. Во избежание появления псевдочастот необходи.мо, чтобы частота выборки по крайней мере вдвое превышала са.мый высокочастотный компонент сигналш. В этом суть теоремы дискретизации {sampling theorem).

На практике частота выборки должна быть больше частоты Найквиста. Теорема основана на предположении, что исходный сигнал периодический и дискретизируется неофаниченное время. Поскольку очевидно, что в реальных системах это не так, то для сбора ин({)ормации, достаточной для адекватного описания сигнала и его последующего восстановления, частота выборки должна быть выше. Более того, в случае непериодического сигнала нет теоремы, ограничивающей нижний предел частоты выборки. Несколько практических правил для частоты выборки в замкнутых систе.мах управления рассматриваются в разделе 6.5.2.

Обычно аналоговый сигнал содержит высокочастотный шум. Поэтому частота выборки должна определяться по самой высокочастотной составляющей, присутствующей в исходном сигнале. Все частоты, превышагощие половину частоты Найквиста, должны бтлть удалены из сигнала до дискретизации, в противном случае они появятся как псевдочастоты в выходном сигнале. Этот принцип иногда толкуют так: иптересую-циетс частоты должны быть ниже, чем половина частоты Найквиста. Очевидно, что это неверно, ибо все частоты, превышающие половину частоты Найквиста, приводят к появлению нсевдочастот, независимо от того, представляют они интерес или нет. Если высокочастотный шум налагается на низкочастотный сигнал, то выборка с частотой, определенной только по низкочастотному сигналу, даст искаженные значения из-за наложения посторонних комшэнентов на полезный сигнал. Высокочастотные ком-чоненты можно подавить либо удалить аналоговым фильтром низких частот (противо-псевдочастотным с)Ильтром), как это описано в разделах 5.3.1 и 5.3.2.

Или частотой Коте.71ьпикова. - Примеч. ред.

периодов), то очевидно, что исходный сигнал выбирается всегда в одной и той же фазе и для периодического сигнала будет получено одно и то же значение; другими словами, }1аблюдаемая частота становится нулевой. Зависимость между наблюдаемой (восстановленной) и истинной частотами имеет пилообразный вид (рис. ,5.7).

t86 Глава 5. Обработка сигнал

- --- - -

Пример 5.16

Дискретизация аналогового сигнала

При дискретизации синусоидального сигнала 5/4 раз за период (пример 5.1 я) нсевдочастота 4 и истинная частота/лежат симметрично относительно половины частоты Найквисга с шагом Д/= 3 8, т. е.

/м 3/ /

- -А/= - - - = - (нсевдочастота 2 8 8 4

л. - - /•

- + А/= - + - = / (истинная частота

2 8 8ы

После дискретизации оии([)рованные данные уже невозможно исправить, поэтому истинную частоту /нельзя выделить из нсевдочастот f + )г f. Таки.м образом, любая из псевдочастот

/,-/, /,+/, 2/,-/, 2Л+/, ... (5.2)

может появиться в выходном сигнале, если частота/исходного сигнала выше половины частоты Найквисга/дг/2 = 2.

Пример 5.2

Искажения, вызванные псевдочастотами

Рассмотрим пример искажения, вызванного нсевдочастотами. Белый диск с черной отметкой на краго вращается с разной скоростью. Этот диск освещается стробоскопической лампой, которая вспыхивает с заданной частотой, например один раз в секунду. Таким образом, отметка видна только в определенные моменты времени.

Бели диск вращается по часовой стрелке со скоростью 10° в секунду, то черная отметка будет видна в положении 0°, 10°, 20°,... и т. д. Аналогично, если диск вращается против часовой стрелки, то отметка будет видна в пшюжении 0°, .350° 340°,... и т. д. Бели скорость вращения увеличивать, то отметки будут наблюдать ся все дальше друг от друга. Бели диск делает пол-оборота в секунду, то отметка видна в положении 0° и 180° и определить направление врапьсния уже нево:шож-но. Бели диск вращается но часовой стрелке с еще большей скоростью, напри.мер 215° в секунду, то после положения 0° отметка появится в том же положении, как нри вращении против часовой стрелки со скоростью 145° в секунду.

Угловая скорость 180° в секунду соответствует половине частоты Найквисга. Частоты, симметричные относительно частоты Найквиста (/дг/2 ± Ду! проявляются одинаково (ср. рис. 5.7). Кажущаяся частота является ближай шей к частотам, кратным частоте выборки (/ 2f, 3/.,... и т. д.). Таким образом-частоты 10°, 350° и 370° в секунду при дискретизации проявляют себя какодиз и та же частота (10°).

/1искретизация синусоидальных сигналов в нри.мере 5.1 а аналогично прИ меру с вращающимся диском. Синусоида - ото проекция точки на вертикаль пую ось, а вращение но и против часовой стрелки соответствует разным фаза! синусоидального сигпа.;1а.

В старых вестернах часто кажется, что колеса у повозок медленно вращаются против направления движения. Скорость киносъемки (частота выборки) - 2i кадра в секунду. Вели колесо имеет Лспиц, то оно кажется неподвижным: приусловии, что поворачивается точно на \/N(wm на кратное 1/АГ) оборотаза 1/24 секунды. Вели колесо вращается немного быстрее, то кажется, будто оно медленно вращается вперед; соответственно, колесо кажется медленно вращающимся назад, если скорость вращения немного меньше, чем l/N. Аналогично, мерцание экранов компьютеров (или появление на них медленно движущихся полос) при демонстрации их по телевидению появляется из-за несоответствия между частотой обновления изображения на экране и частотой "выборки" телевизионной камеры.

Пример 5.3

Определение частоты выборки для измерения концентрации взвеси в устройстве осаждения

Этот при,мер шипострирует, как некоторые факторы влияют на частоту выборки. В проиессе осаждения активированного отстоя (раздел 2.4.2) твердые компоненты выделяются из жидкого раствора в устройстве осаждения, в котором сгущающаяся взвесь оседает на дне. Поскольку большая часть жидкости будет повторно исио.тьзоваться, необходимо знать концентрацию взвешенных частиц. Ее значение обычно изменяется очень медленно - для значительного изменения концент-pauvm необходимо время от нескольких минут до нескольких часов. По.этому ин-тервач выборки порядка 30 минут представляется адекватным. Некоторые экспериментальные данные, полученные для отстойника, показаны нарис. 5.8.

70 время, мин

Рис. 5.8. Рс.зу.71ьтаты из.мерения концентрации осажденных частиц в отстойнике

Кривая концентрации имеет ярко выраженные пики каждые 12 минут. Эти пики не объясняются какими-;п1бо особенностями физического пропесса. В действительности они вызваны вращением скрепера (скребка) на дне отстойника, который удаляет осадок через клапан. Период вращения скрепера составляет 12 минут. Каждый раз, когда скрепер минует донный клапан, оса-докудатчика сжимается, что затем отражается как повышенная концентрация взвешенных частиц. Поэто.му адекватный интернат выборки должен быть порядка нескольких минут, а правильную концентрацию осадка можно рассчитать как среднее значение за ЗО-.минутиый интервал.