Глава 3. Описание №WBMlwwpo°"e сю

Рис. 3.19. Оценка скорости на оснопе точного измерения угла новорота для различных значений вектора оценки К. Реальная скорость показана сплошной линией, а оценки - пунктиро.м. Значения вектора оценки: 1 - /Cj = О, /2 = 0: 2 - /Cj = 3, /<2 = 3; 3 - /Cj = 3, /<2 = 15. Оценки 2 и 3 сходятся быстро - они совпадают с реальной скоростью при.мерно через 2 секунды. Следует от.метить, что оценки 2 и 3 перрюначально и.меют разные знаки

В реальной системе скорость можно получить просто дифференцированием угла поворота вала. Однако на практике это довольно сложная операция, поскольку сигнал обычно зашумлен и производная от такого сигнала дает мало информации.

Если модель физической системы неточна, то динамика погрешности не (юдчиня ется уравнению (3.18). Однако часто К можно выбрать таким образом, что систем; остается устойчивой, а погрешность оценки приемлемо мала, даже несмотря на не большие неточности в модели процесса или искажения при измерениях. Этому по-свягцен следующий раздел.

3.6. Системы с неопределенностью

Математическая модель редко точно отражает реальность - всякое описакй строится на основе некоторых допущений. Во многих случаях модель не учитывав все тонкости реального процесса, а некоторыми состояниями просто пренебрегают Существуют системы, которые трудно описать количественно в виде математических выражений. В таких случаях можно использовать семантическое описание в частности для систем, в контур управления которых включен человек-оператор К этому классу относится большинство биологических систем, которые либо слишком сложны, либо недостаточно изучены. Поэтому при проектировании системуП равлеггия всегда необходимо задаваться вопросом о том, какая модель являете" наиболее адекватной с позиций неучтенных факторов - неопределенностей (uncertainties).

Моделирование возмущений и случайных ошибок в датчиках основывается теории стохастических процессов. Стохастический процесс (stochasticprocess) - последовательность случайных величин. В принципе .это означает, что в момент!

3.6. Системы с неопределенностью 111

борки к значению каждой переменной процесса добавляется случайная величина с известным распределением вероятности. Аналогично, шум в измерениях можно молелировать как случайную добавку к сигналу датчика. Проблемы точности измерений обсуждаются в разделе 4.2.

3.6.1. Оценка состояния при стохастических возмущениях

В предыдущем разделе предполагалось, что используемая при оценке измерительная информация (т. е. вектор измерений у) не содержит ошибок. На практике не существует идеальных датчиков. Шумы и возмущения в датчике можно рассматривать как дополнительную случайную переменную е в уравггении состояния. Возмущения, влияющие на все датчики технического процесса, можно компактно записать как вектор е, который добавляется в уравнение (3.10)

y{kh)-Cx{kh) + {kh) (3.19)

Каждый компонент вектора шума {kh) моделируется как последовательность стохастических, т. е. случайных, значений. Если эти компоненты независимы друг от друга, тогда амплитуды компонентов шума в момент времени kh не зависят от их значений в предшествующие моменты времени. Обычно, можно считать, что эти амплитуды нормально распределены, и тогда среднее значение и стандартное отклонение полностью характеризуют возмущения.

При наличии шума в измерениях процедура оценки, описанная в разделе 3.5.2, должна выполняться с особой тщательностью. Для вычисления погрешности вместо уравнения (3.10) используется уравнение (3.19). Выражение для оценки прини-.мает вид

Щк + \)h\=Ф\{kh) + T u(kh) + К • [y(kh) ~ С • x(kh)] =

= Ф • x(kh) + Г • u(kh) + К • [С • x(kh) + e(kh) - С x(kh)]

В этом случае необходим компромисс при выборе К. Большие значения компонентов вектора К ускоряют сходимость, но при этом усиливается влияние слагаемого шума е, что увеличивает погрешность оценки. Поэтому значения компонентов вектора К должны быть, с одной стороны, достаточно велики, чтобы x(kh) сходилос! к x(kh) возможно быстрее, а с другой - достаточно малы, чтобы слагаемое шумг е(кк) НС очень существенно влияло на результат.

Примерз.19

Оценка при зашумленных измерениях

Рассмотрим еще раз механическую систему из примера 3.18. Предположим, что на результаты измерения угла поворота вала наложен шум

y(t}=xi + e

Результат оценки скорости при тех же самых значениях К, что и для случая незашумленных измерений, показан на рис. 3.20. График показывает, как соот-1ЮСЯТСЯ сходимость и точность оценки. При малых значениях К сходимость -хуже, но итоговая точность вполне приемлема. Большие значения Кпозволя-

ют получить быструю сходимость, но общая точность оценки неудовлетворительна. Очевидно также, что оцеггка скорости дифферегпшрованис.м уг.па поворота вала будет давать очень плохой результат.

Рис. 3.20. Оценка скорости при из.мереиии угла поворота в условиях шу.мов; схо-ди.мость для варианта 2 быстрее, но выше чувствительность к воз.муп1ения.м. Значения вектора оценки К такие же, что и для при.мера на рис. 3.19: 1 -/Cj =3, /("2 3 2-/С, =3,72" 15

Для того чтобы найти наилучшие значения вектора К нризашумленных измерениях нужно использовать более сложные методы. Наилучшие значения К часто изменг-ются в зависимости от времени. Они могут быть достаточно большими до тех пор пока разность между реалыиям измерением y{kh) и его оценкой S{kh) =С-ЦШ-больше, чем e(kh). Когда иогрепиюсть уменьшается и ее значение становится соизме римым с шумом e(kh), то и значения К следует соответствегню уменьпшть.

На переменные состояния могут влиять возмущения, которые нельзя смоделировать детерминированным образом. Для учета влияния ошибки моделирования и.и шумов процесса в разностное уравнение (3.9) добавляется член, характеризуют* возмущения. Типичным примером является измерение уровня жидкости в большО емкости с волнением на поверхности, которая вызывает случайные колебания измеряемого уровня, /[ругим примером может служить измерение момента электромотора, при котором возникают небольшие пульсации из-за работы преобразователя частоты. Такие отклонения можно моделировать случайными величина.ми у{Ш которые добавляются к уравнению состояния

x\(k+1 )h\ Ф • x{kh) + Г • u(kh) + v(kh) (3,1

Эти случайгпяе величины могут быть учтены аналогично измерительному [пум> В этом случае регулятор учитывает неопределенность и его действия будут бо., "осторожными", т. е. коэффициент усиления регулятора должен быть небольш!

Опти.мальное значение К зависит от типа возмущения. Фильтр Калмана {КаШ filter) - это функция со структурой, соответствующей уравнению (3.20), и 6азир.\ П1аяся на описании системы уравнениями (3.19) и (3.21). Значение К, получаемое фильтра Кальмана, изменяется во времени и представляет собой оптимальный коУ ромисс межд.у возмущениями п системе и в датчиках и погрешностью оценки.