полный вектор состояния х, даже если адекватные датчики не существуют или просто слншко.м дороги. При определенных условиях .можно вычислить вектор состояния X на основе из.мереиий у. В последующем х будет обозначать вычисленный вектор состояния, поскольку он .может отличаться от реального.

Для вычисления неизмеряемых переменных состояния .можно использовать процедуру оценки {estimator), нриче.м как для непрерывных, так и для дискретных .моделей. Здесь рассмотрен алгорит.м оценки для дискретной .модели, поскольку его .можно непосредственно применять в ко.мпьютерно.м управлении. Оценка состояния фактически является онисание.м технического процесса разностны.ми уравнення.ми (3.9), в которые введен дополнительный член для корректировки оцениваемых переменных на основе из.мереиий у

x[{k -Ы)/г = Ф • x{kh) + Г • vL{kh) + К • \y{kh) - С • x{kh)\

(3.17)

Матрица D [уравнение (3.10) в большинстве случаев - нулевая. Если система имеет только один датчик, тогда К является векторо.м, в противно.м случае - .матрицей. При "отличной" оценке х и х совпадают и последнее слагаемое в уравнении (3.17) равно нулю, так как у = С • х. Оценка будет подчиняться то.му же дина.ми-ческому уравнению, что и истинный вектор состояния х [уравнение (3.9)]. Поскольку X отличается от х, последнее слагаемое, т. е. разность .между реальны.м измерением у и его оценкой С • х, используется для коррекции ошибки. Матрица К есть весовой коэффициент, определяющий качество оценки. Работа алгорит.ма оценки иллюстрируется рис. 3.17, где показано, как выход .модели С • х постоянно корректируется измеренны.ми значения.ми у. Если К выбран правильно, то х сходится к х.

вход

процесса

mexiimecKuu процесс

-<?->

алгоритм оценки

компыотер

выход процесса

Рис. 3.17. Оценка состояния но всем переменным тсхническо10 процесса

Рис. 3.18. Электрический привод, состоящий из двигателя и нагрузки, соединенных упругим валом

Поскольку основной целью является управление угловой скоростью }ia-грузкп, Dry скорость нужно измерять. Скорость также можно оценить, если измерить угловое положение нагрузки, /[ина.мика нагрузки оиисьн5ается зако-

В верхней части рисунка изображен технический процесс, а в нижней - ripouej,. pa его оценки по всем переменным состояния {full-orderestimator), т. е. компьютерна модель на основе уравнений (3.17). Другими словами, оценка есть не что иное,ка1 компьютерная модель технического процесса, которая регулярно корректируетеяц; основе текущих измерений. Для проверки сходимости используется величина, кст, рая называется погрешностю оценки {estimation error)

x{kh) - x{kh) - x{kh)

Вычитая уравнение (3.17) из уравнения (3.9) и подставляя уравнение (3.10) щ, условии, что матрица D нулевая, имеем

x\{k + \)h\ = Ф x{kh) К • \y{kh) - С • x{kh)\ =

= Ф • x{kh) - К • С • x{kh) = (Ф - К • С) • x{kh)

Если Кможно выбрать так, что x{kh) сходится достаточно быстро к нулю,то оценка является удовлетворительной. Это означает, что x{kh) будет сходиться к х(/г)не-зависимо от начальных условий. Более того, К можно подобрать таким образо.м, тт погрешность будет сходиться быстрее, чем исходная аппроксимация, определяе.ча; матрицей Ф.

Во.зможность выбрать К таким образом, чтобы оценка была приемлемой, .завия от наблюдаемости системы, которая определяется только матрицами Ф и С. Иначе говоря, наблюдаемость характеризует во.зможность получить информацию o6oBcei состояниях системы х на основе выходных сигналов у. Наблюдаемость также гара.-тирует, что можно найти подходящую матрицу К такую, что x{kh) сходится к нулк сколь угодно быстро. Ненаблгодаемость означает, что некоторые состояния или тати системы физически отсоединены от выхода процесса и нодтому но отражены виз-мерениях. Система, описываемая передаточной функцией, наблюдаема, если числитель и знаменатель не имеют общих множителей.

Пример 3.18

Оценка угловой скорости в механической системе

Рассмотрн.м двигатель, соединенный с тяжелой нагрузкой упругим вало.м. В бу.магоделательной .машине или на ирокатно.м стане упругость вала может быть причиной колебаний нагрузки (рис. 3.18).

ном Ньютона. Упругий вал действует как пружина с силой реакции, пропорциональной разности с между угла.ми поворота валов двигателя и нагрузки. Дополнительно разность скоростей вращения ш валов двигателя и нагрузки вызывает момент сопротивления, нронорциональный скорости. При .моменте двигателя /,„ и мо.менте инерцииД закон Ньютона для нагрузки и.меет вид

dh dz

dt2 dt.

Дина.мику системы .можно описать уравнепия.ми состояния

.г, = Е -« Хг,

dt 2

dc dx2 k с 1

y{t) = X,

Производные аннрокси.мируются конечны.ми разностя.мн с шаго.м h x\{k - \ )h] ~ x(kk) + h X2(kh)

kh he h

X2[{k M )Л = X2{kh) ~ - . xikh) - - X2(kh) + - TJkh)

Jl Jl Jl

где/ = 0, 1,2,... Оценка имеет вид

x[{k + \)h\ =x(kh) + h-X2(kh) + /С, • lx{kh) - x(kh)]

kh he /г

X2[{k +\)h\- X2(kh) - - • x,(kh) - - X2(kh) + - • T„(kh) +

Jl Jl Jl

K2-{x(kh)~x(kh)\

Цель оценки - вычислить X2(kh) на основе измерений у = x(kh). Началь-iH)ie условия реальной системы неизвестны, и поэто.му для оценки их .можно считать нулевыми. В при.мере, ноказапно.м на рис. ,3.19, угловая скорость механической системы из.меняется неизвестны.м образом. В .момент времени t = 5 угловая скорость .меняется скачком из-за .мгновенного увеличения момента двигателя. На рисунке видно, как значение Х2 стремится к .X2(kh). Реальная скорость X2{kh) неизвестна и принимается равной 5. Даже если /С, и К2 равны О, оценка стремится к реальной величине, поскольку модель оценки корректна. Если значения К\ и К2 положительны, оценка может сходиться к действительному значению быстрее. Чем больше значения и К2, те.м быстрее сходится оценка.

Поскольку оценка достигла действительного значения (т.е. ногреппюсть оценки сходится к нулю), то они и датьпге остаются идентичными, даже если входной момент из.меняется; в известном смысле оценка "знает" входную функцию.