Глава 3. Описаниетшяэдарвяиррвание систе.,

Это выражение можно переписать в следующем виде

• (2 2q + \)-y{kh) = - • (9 + 1) • u{kh)

.......2

или,подставляя q т

Аналогично, со сдвигом по времени на 2h

y\{k + 2)h\~2y\{k + \)h]+y{kh)

u\{k + \)h\+u{kh)

y{kh) 2y[{k-\)h\+y\{k-2)h\

u\{k-\)h\ + u[{k2)h]

Это дискретная модель механической системы. Выполним для сравнения простую ра.зностную аппроксимацию непрерывной модели, описанной в примере 3.2 (раздел 3.2.1). Разностная аиироксимапия на.заддает т г

• [y{kh) - 2у\{к - \)h]+y[{k -~ 2)h\\ = u{kh)

а при разностной аппроксимации вперед имеем т г 1?

y{(k + 2)h\ - 2y[(k + \)h\ +y(kh)] = u(kh)

Аппроксимации, полученные разностями вперед и назад, аналогичны и отличаются сдвигом по времени на 2h. При малых значениях h дискретная модель в пространстве состояний стремится к разностным аппроксимациям.

Таким образом, для того чтобы получить дискретную модель аналоговой системк мы можем использовать два способа. Первый - аппроксимация исходных уравнени разностными [уравнение (3.9) ; если исходная система линейна, то Ф и Г можно пс-лучить из А и В. Второй -- получить передаточный оператор Яна основе дискретногс описания системы в пространстве состояний с помощью уравнения (3.16).

Ранее отмечалось, что полюса непрерывной модели идентичны собственным числам матрицы А. Аналогично, полюса дискретной модели систе.мы идентичны собственным числам матрицы Ф.

Рассмотрим непрерывную систему первого порядка

-- = -а- X dt

При а > О система устойчива и сходится к нулю независимо от начальных условий, т. е.

х(0 = е~""-.г(0) /1искретное описание системы имеет вид

(k + \)h =e--x{kh)-is;>-x{kh)

Пусть h так мало, что ирои.зведение а h стремится к нулю. Тогда ф стремится к 1. Физически .это означает, что состояние систе.мы .между последовательными моментами выборки из.меняется очень незначительно. С другой стороны, если h велико, то ф стремится к нулю. Это означает, что .между дву.мя выборка.ми система практически ничего не "помнит". Поэто.му очевидно, что интервал выборки h связан со значением коэффициента а и должен выбираться так, чтобы избежать неустойчивости решения. Определение интервала выборки подробнее обсуждается в главе 5.

Собственные числа \ .матрицы А соответствуют собственны.м числа.м е матрицы Ф. Для вьинеприведенного при.мера систе.мы первого порядка мы видели, что для ее устойчивости необходимо и достаточно, чтобы собственное число (-а) было веще-ственны.м и меньшим нуля. Соответственно, для дискретной систе.мы собственное число е " будет лежать в диапазоне вещественных чисел от О до 1.

Колебательная система второго порядка и.меет собственные числа -о ±70). Колебания будут устойчивы при о > О (ра.здел 3.3.4). Соответствующие собственные числа дискретной модели суть е и е~". Очевидно, что, поскольку мы рассматриваем одну и ту же физическую систему, эти собственные числа соответствуют тому же само.му колебательно.му процессу, но только паблюдаемо.му в моменты времени с интервалом h. За.мети.м, что при а > О собственные числа дискретной модели расположены внутри единичного круга.

Приведенные примеры уравнений первого и второго порядков .можно обобщить для систе.м более высоких порядков: если собственные числа - и, соответственно, полюса - дискретной .модели расположены внутри единичного круга, то система устойчива. Таким образо.м, внутренность единичного круга соответствует левой части комплексной плоскости для непрерывных систе.м.

3.5. Управляемость, оценка и наблюдаемость

Каждая техническая система обладает несколькими фупдаментальнььми характе-ристнка.ми, которые требуют особого вни.мания.

3.5.1. Управляемость

Управляемость {controUahility) - .это характеристика системы, которая показьша-ет, и.меет ли система достаточное количество регулируемых параметров для того, чтобы управлять ею требуемы.м образо.м. Грубо говоря, система является управляемой, если можно подобрать такие управляющие во.здействия и, чтобы система достигла заданного состояния х. Только тогда, когда система управляема, ее полюса (или собственные числа) .можно произвольно перемещать с но.моп1ью обратной связи (глава 6).

Если процесс неуправляем, зто означает, что части системы физически отсоеди-1КЧ1Ы от управляюип-1Х сигналов и. Проиллюстрируем этот случай для систе.мы, не имеющей кратных собственных чисел и полюсов (все полюса имеют различные зна-чптя). В такой системе неременные состояния можно ра.зделить, т. е. представить ее в пи.те

Глава а. Описаниеиа10ааиррниеси1л

или в матричной форме

при >1,- для всех г

Такая запись называется диагональной, а состояния в такой системе - собстветм колебаниями {natural oscillations modes) (раздел .З.-З.). Управляющие сигналы влияюте каждую переменную состояния по отдельности. В управляемой системе все элемента матрицы В - ненулевые, в противном случае переменные состояния, соответствующе: нулевым элементам матрицы В, не MOiyT регулироваться сигналами управления. Знаг ния таких переменных будут определяться только свойствами системы.

Аналогичные рассуждения можно провести и для дискретной модели. Если к собственные числа ра.зличны, то уравнение принимает диагона/нллый вид

Д,о ... о\

x[{k+\)h\-

о X., ... О

x{kh) +

Точно так же как и в непрерывной модели, для того чтобы система была управляемой, все (3,-должны быть ненулевыми.

Управляемость линейной системы на базе непрерывной и дискретной модел1 можно проверить математическими .методами. Однако никакие математические методы не .могут за.менить пони.мание физической природы процесса инженеро.м-прс-ектировщико.м. Напри.мер, часто бывает, что некоторые параметры плохо управ.* .мы, т. е. значения соответствующих коэффициентов Р- .малы. И хотя формаль* система управляема, реальный регулятор, пригодный для практического использования, создать невоз.можно.

3.5.2. Оценка состояния на основе измерений

Вторая характеристика системы связана с из.мерениями и наблюдением. Пoз8" ляет ли и.меющийся состав датчиков получить достаточную ннфор.мацию о состо* НИИ системы? Воз.можно ли косвенны.м образом вычислить весь текущий векторf*- стояния х(0, если известны текущее и предыдущее значения выходного сигнз-" y{t)7 Эта характеристика называется наблюдаемостью {obseniability).

В больншнстве случаев состояние системы не измеряется непосредственна* т. е. число датчиков меньи1е числа переменных состояния. Однако часто важно м