/ (hAf \ lh+--+ В

\ 2! /

где I - единичная .матрица.

Преобразование .между .матрицами для непрерывной и дискретной .моделей .можно выполнить с использованием стандартных програм.м. Апнрокси.мация конечны.ми разностями Ф~1-1-/гАиГ = /г-В стремится к точно.му решению при .малых значениях интервала выборки h. Поскольку измерения происходят периодически, то уравнение (3.2) для дискретной модели справедливо только в .мо.менты выборки

y(kk) = С x(kk) + D u(kk) (3.10)

Решение уравнений дискретной .модели на цифровой ЭВМ получается довольно просто: ренлепия x(kh) в последовательные .мо.менты времени вычисляются niar за шагом на основе разностных уравнений.

3.4.2. Отношения вход/выход и оператор сдвига

В дискретных .моделях, так же как и в непрерывных, часто удобно нанря.мую свя-:!ать вход процесса и с его выходо.м у, в особенности, когда регулятор записан в такой же форме, т. е. он оперирует выходной величиной процесса для подсчета управляющего сигнала. Дискретно-временной анализ проще выполнить при но.мощи оператора сдвига q (shift operator). Эффект от нри.менения оператора (7 к зависящей от времени неременной z(t) такой же, что и сдвиг но времени на интервал h - его также называют сдвигом вперед (fonoard .shifting)

q-z(kh) = z\(k+\)h] (3.11)

С помощью Оператора сдвига разностные уравнения можно заменить па алгебраические, которые проще преобразовывать и решать. Здесь использован принцип, а11а.тогичный преобразованию Лапласа, для упрощения дифферепциа.тьных уравнений с помощью комплексной переменной5.

В матричных обозначениях это можно записать

x{(k - 1)/г x(kh) + h-\- x(kk) Л • В • u(kk) - (I + Л • А) • x(kh) + Л • В • u(kh)

Для линейной или линеаризированной системы апнрокси.мация (3.8) не обязательна. Поскольку линейные дифференциальные уравнения .можно решить аналитически, соответствующие уравнения для дискретного представления .можно получить из уравнения (3.1). Предполагается, что сигнал управления u(t) остается постоянны.м между .мо.ментами выборки, т. е. система включает в себя схе.му удержания. Дискретную .модель .можно записать в .матрично.м виде

х[( -Ы)/г = Ф • x(kh) + Г • u(kk) (3.9)

где Ф - .матрица раз.мерностью и X и, а Г - матрица раз.мерностью и X г. Связь .между .чатрица.ми А и В и .матрицами Ф и Г следующая

102 Глава 3. Описание и моделирование сист, -.-.- -. • -.

Оператор обратного сдвига (backward shift operator) сдвигает функцию bsj мени на один шаг назад

z(kh) = z[(k - \)h\ (3.12,

В общем случае оператор сдвига можно применять несколько раз

q" z(kh) -q-q-...q- z(kh) = z\(k + n)h \

Оператор сдвига q можно применять и к вектору •x.(kh), что эквивалентно исполь. зованию этого оператора к каждому его компоненту.

Если существует дискретное представление в пространстве состояний [урав-нения (3.9) и (3.10)1, то, исключив вектор х и приведя подобные члены, получ» связь между входом и выходом в виде

y\(k + n)h\ + a-y[(k + n- \ )h\ + ... + a„-y(kh) = b-u\(k+n)h\ + ... + b„-u(kh)

Применение оператора сдвига q дает более компактную запись

(q» + а, + ... + a„)-y(kh) = (b q + b,- q"" + ... + b„) u(kh) (3.13;,

Выше было показано, что зависимость между входными и выходными переменными линейной системы можно представить передаточной функцией (5), определяемой как отношение изображений Лапласа входных и выходных сигналов системы. Аналогичное описание можно получить с помощью оператора сдвига q и для дискретных систем. Дискретный передаточный оператор H(q) (discrete transja operator) определяется из уравнения (3.13) следующим образом

y(kh) b.-q" + brq"~ + ...+b„

H(q) = = --n-- (3-14)

u(kh) q" + a-q"-- + ...+a„

Выражения в обеих частях уравнения (3.13) можно сдвинуть на п периодов назад, что эквивалентно их умножению на q~. Тогда отношение вход/выход выражается в виде

y(kh) + «1 • yl(k - 1 )/г] + ... + а„ y\(k - «)Л = • -h) + ... + b u\(k- n)h]

Используя оператор обратного сдвига, это отношение можно записать проще

(\+a,-q-+ ... + a„q~") y(kh) = (b + b,-q" + ... + b„q") u(kh)

Соответствующий дискретный передаточный оператор имеет вид

, y(kh) b( + b,-q~ + ... + b„q

Я*(9-l)=- = ---(З.Ь)

u(kh) \+a-q~-+... + a„-q-"

Если числитель и знаменатель уравнения (3.15) умножить на q", то в результате получим уравнение (3.14), т. е. H*(q-i) = H(q).

Дискретный передаточный оператор можно получить непосредственно из описания в пространстве состояний [уравнения (3.9) и (3.10)J. Ниже сформулирован результат, доказательство которого дается в учебниках по теории управления. Связь между дискретным передаточным оператором и матрицами в пространстве состояний определяется следующи.м соотнонгением

H(q) - ir(q) - = с . ( . I - ф) -1 . г + D (3.16)

При получении этого выражения q рассматривается как ко.мплексное число, .хотя формально является оператором. Для систем с одним входом и и одни.м выходом у матрица С имеет одну строку, матрица Г - один столбец, а матрица Ф - размерность и X «. Обычно .матрица D нулевая, что означает отсутствие алгебраических (т. е. прямых физических) связей между входо.м и выходо.м технического процесса.

В дискретно.м случае, как и для непрерывной передаточной функции, коэффициенты однозначно определяются из внутреннего описания в пространстве состояний. Аналогично, поскольку вектор переменных состояния х .можно сфор.мировать, используя разные варианты представления, из H{q) .можно получить множество различных .матриц Ф, Г, С и D. Описание системы в виде передаточного оператора является однозначны.м, а с по.мощью .матриц переменных состояния - нет.

Пример 3.17

Дискретное описание механической системы в пространстве состояний

В качестве нри.мера дискретного описания в пространстве состояний рассмотрим еще раз .механическую систему из при.мера 3.11 (раздел 3.3.2).

Сначала определяется шаг выборки h. После этого .можно вычислить .матрицы Ф и Г

Ф = е = 1 + Ah + - (АА)2 + ... =

Г=(1/г+АА2+ ...)• В

2т \ h

Дискретная .модель .механической систе.мы приобретает вид

х[(+1)Л] =

О 1

x(kh) + - т

u{kh)

y(kh) С x(kh) - (\ O)x(kh)

Теперь передаточный оператор .можно вычислить, исполь.зуя уравнение (3.16). Замети.м, что q .мы рассматриваем как ко.мплексное число. Тогда

, / \

(q-\ -h\ 2т а + \

() = (1 0)-

О <?- 1

h т

2т (?-!)