Глава 3. Описание и М0Др(»а1ШСисте.,

dx{t) x{t + h)- x(t) dt h

решение имеет вид

x{t + h)~x(t)-h-a-x(t) = (1 - Л • a) • x(t) б

Рис. 3.16. Численное решение дифференциального уравнения первого порядка dx/dt = -ах при а = 2 и различном шаге интегрирования h:a - h = 0.05 -,6 - h = OA и OA

На рис. 3.16 показано, что происходит при различных значениях шага h. В обше.м случае для больших значений h - таких, что \i-ha\ > 1, т. е. /г > 2/а, решение х будет и.меть колебательный характер с из.менение.м знака и ростом а.мплитуды. Нробле.ма возникновения колебаний из-за слишком большого шага интегрирования называется численной неустойчивостью. Эта неустойчивость не и.меет ничего общего с са.мой системой и вызвана только слишко.м грубой аппрокси.мацией при вычислении решения.

Существует .много .методов численного интегрирования, каждый из которых и.меет свои достоинства и недостатки; наибольшее распространение получили .методь-Рунге-Кутта. Большинство .методов интегрирования допускают варьируемую величину шага, которая выбирается авто.матически, чтобы удовлетворить наперед задан-но.му критерию погрешности.

И.меется несколько ком.мерческих пакетов программ для моделирования, позволяющих решать нелинейные дифференциальные уравнения. Под "реп1ением" здесь ДО ни.мается, что значения переменных состояния можно получить числениы.м интегрИ рованием дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях " входных сигналах, являющихся функцией от времени. Нри использовании таких прО грам.м необходи\[о задать дифференциа/пдлые уравнения и некоторые параметры чис ленного интегрирования - метод, размер шага, форму представления решения (таблй на пли график) и т. п. Хорошие программы должны быть способны как миии.мум:

- проверять согласованность уравнений;

- переупорядочивать уравнения для оптимизации итерационного процесса;

- интегрировать уравнения;

- отображать результаты в требуемой форме (таблица или график).

Современные пакеты моделирования обеспечивают набор простых команд для изменения пара.метров или начальных условий и несколько алгорит.мов интегрирования, из которых можно выбрать наиболее подходящий для конкретной задачи. Они также имеют развитые воз.можности отображения результатов в легко воспринимаемой графической форме. На рынке есть несколько .мощных пакетов .моделиро-ва1тя - Mathematica, Simnon, Matlab, Simulink, Easy-5 и ACSL существуют в версиях для ра,зличных вычислительных нлатфор.м. Програ.мма Matlab быстро приобрела больнлую популярность как аналитический инстру.мент, поскольку она поддерживает несколько .математических .методов: .матричные вычисления, .методы линейной алгебры, идентификацию нара.метров, анализ временных рядов и синтез систем управления. Диаграм.мы, приведенные в этой книге, были получены с по.мощью програ.м.мы Simnon, разработанной на кафедре авто.матического управления Lund Institute of Technology.

11рогра.ммы Simnon и ACSL являются пакетами моделирования, ориентированными на уравнения, т. е. системы в них описываются обыкновенны.ми дифференциальными уравнепия.ми. Другие нрограм.мы .моделирования, напри.мер Easy-5 и Simulink, снабжены готовы.ми .модуля.ми описания элементов процессов; пользователь и.меет воз.можиость добавить к пакету свои собственные .модули. Идея таких пакетов заключается в объединении нескольких .модулей в единый процесс. В остальном они содержат те же самые средства численного интегрирования и взаимодействия с пользователем, что и програ.м.мы, ориентированные на уравнения.

Одно из ограничений нрогра.м.м .моделирования на основе готовых функциональных блоков есть требование наличия причинно-следственных связей, т. е. для уравнения (.модуля) всегда необходи.мо описать вход и выход. Но в реальных ситуациях это не всегда возможно - напри.мер. Одновременные события не взаи.мосвязаны. При моделировании резистора наперед не очевидно, будет ли нужно уравнение в виде

и = R-i

или в виде

R

Все зависит от окружения, в которо.м находится резистор. Соответственно, .моделирующий инструмент должен у.меть ослаблять причинно-следственные ограничения, первоначально наложенные на уравнения. Эта концепция привела к парадигме объектно-ориентированного .моделирования, в которой язык .моделирования устанавливает точное соответствие .между физически.ми объекта.мн и их представлением в рамках модели. При.меро.м объектно-ориентированного пакета .моделирования является Dymola фирмы Dynasim АВ (г. Лупд, Швеция). Dymola, разработанная Хил-ДИнгом Елмквистом (Hilding Elmqvist), автором програ.м.мы Simnon, является иист-РУменто.м для построения сложных .моделей, которые затем обрабатываются другой программой, например Simnon или Simulink.

Для некоторых приложений, таких как авиатренажеры, модели атомных реакт, ров и энергосистем, разработаны специализированные пакеты моделирования, Эт; системы должны моделировать хороню известные технические процессы в предел; но реалистичных ситуациях и в основном используются для тренировки операторе, и ироектнроваггия систем. Во многих С71учаях .эти програ.м.мы сопряжены с реальнц. ми систе.ма.ми управления и .могут обрабатывать поступающие от них данные (ecTf. ствеино, при .это.м ко.манды не посылаются в реальный технический процесс).

3.4. Дискретные модели динамических систем

Цифровая ЭВМ не может обрабатывать постоянно .меняющиеся аналоговые дав пые. Соответственно, и сбор данных, и выработка управляющих сигналов происхй дят только в определенные .мо.менты времени. Ситуация принципиально не меняете при повьпненин скорости процессора. Более быстрый процессор работает по тому», принципу, что и более медленрилй, - он просто обрабатывает больше данных ,затс; же интервал времени, но данные при этом остаются дискретны.ми.

Ниже излагается модель физического процесса, пригодная для приложений комш ютерного управления. В соответствии с рассматриваемой .моделью и,з.меряе.мые данные процесса собираются через регулярные интервалы времени. Эти интервалы е обязательно должны быть одинаковы.ми, однако описание дискретной динамическс,: модели становится прогце при постоянно.м интервале. Данный процесс называется выборкой, дискретизацией (sampling) или квантованием, длина интервала - вре.мепе.ч (периодом, интервалом) выборки, дискретизации (sampling time) или квантование Практические методы дискретизации сигналов детально обсуждаются в разделе 5.1,

Другое упрощение, используемое при разработке дискретно-временных \[0деле11 процессов, состоит в то.м, что из.меряемые данные и сигналы управления остаются постоянными в течение интервала выборки. Фактически таки.м же образом работаю; схемы выборки и хранения интерфейса ко.мньютера (раздел ,5.1).

3.4.1. Описание в пространстве состояний

Нелинейный процесс [уравнение (3.5) .можно аппроксимировать разностны.« уравнением

xl(k + \ )h\x(kh) + h-f(x,u) (3.8!

где /г - интервал выборки ик ~ его порядковьп"! но.мер; f(x, и) - производная по вре.мени вектора состояния системы х в соответствии с уравнение\[ (3.5). Аппроксимация справедлива, если h достаточно мал и производная "гладкая". Разностное уравнение но существу такое же, что и при численном моделировании (ра,здел 3.3.7)-Лннейная система с постоянны.ми коэффициентами [уравнение (3.1)] вдискретноМ виде представляется следующим образо\[

.г,[(А - 1 )A1 (1 + /г•«,,)xi(kh) +... ьh а,„x„{kh) + h-byщ(кк) + ... + h-b.-u,(kh) x„\(k i)h\~(\+k-a„)-xy(kh) + ... + h-a„„-.x„(kh) ь/г-/;,„.м,( г) + ..,-h-b,„.-uh)