а концентрация растворенного кислорода поддерживается постоянной около точки равновесия со значением равным 3 мг/л.

На рис. 3.15 показано, что когда входной ноток изменяется скачко.м (2 %, А % и т.д.), концентрация достигает нового стационарного значения за час. При и,з.менении расхода воздуха на А % изменение концентрации практически точно вдвое превышает из.менения концентрации но сравнению с 2 % изменения расхода воздуха. При это.м обе кривые си.м.метричиы относительно точки равновесия. Однако уже при 8 % из.менения расхода воздуха очевидна асси-метрия в реакции системы. При из.менении расхода на ± 20 % из.менения в концентрации уже существенно несим.метричны и, более того, не в пять раз отличаются от изменений, вызванных А % из.менения расхода. Приведенные кривые иллюстрируют практическое проявление нелинейности.

+20%

1 t,4

1 t,4

Рис. 3.15. Изменение концентрации растворенного кисдорода в баке аэрации при скачке расхода воздуха (входная неременная) в момент времени = 0. Результаты приведены для значений входной переменной: ±2%, ±4%и±8% (а); ± 20 % (б)

Системы, описанные выше, и.меют "слабые" нелинейности, т. е. ведут себя практически линейно при .малых значениях входного сигнала. Многие системы при болыних отклонениях от точки равновесия требуют более точного описания, чем линейные дифференциальные уравнения, ноэто.му необходимо добавлять нелинейные слагаемые. При .моделировании должны быть четко определены фаницы, в ра.мках которых линейное описание является адекватны.м.

В.3.6. Нелинейные системы

Системы, описанные в ра,зделе 3.3.5, являются нелинейными, но при некоторых Яонуще!Н-1ях их .можно анпроксн.мнровать линейными уравнениями. Другие тины [1с.1Ипейпостей нельзя свести к линейному описанию. Наиболее часто встречаюншй-\я пример - релейные системы. Реле вырабатывают бинарные сигналы типа "вклю-1ено/выключено"; идеальное реле для любого П07южительного входного сигнала 1меетфиксированный положительный выход и, соответственно, фиксированный отрицательный выход прн любом отрицательном входе. Очевидно, что в такой системе не выполняется принцип суперпозиции.

= /;Хл,,Х2,...,Х„,М,.....м,)

где определены п переменных состояния и г входов, или в компактной векторнорй фор.м;

(3.5

где вектор состояний х и вектор управления и определены в ра,зделе 3.3.2, а каждые-компонент вектора f является функцией

f=(/l/2-/.)

В состоянии равновесия производные (ix;/u?t равны нулю. Пусть точке равновес!- X соответствует постоянный управляюгций сигнал й, тогда условие равновесия

f(x, й) = О (3.f

За.мети.м, что уравнение (3.6) эквивалентно п скалярным уравнениям. Эти ураб нения .могут иметь несколько решений, каждое из которых соответствует некоторО точке равновесия.

Датчики тоже могут вести себя нелинейно (глава 4). В частности, у датчиковте>1 пературы или давления выходной сигнал нелинейно зависит от измеряемой физ1 ческой величины. Такая зависимость может быть линейной для .малых значений си нала и нелинейной - для больших. Ноэто.му уравнение (3.2) нужно переписать более общем виде

Ур -Я1(л-1,л-2,...,л-„,г<,.....

Примеры систем с сугцественными иелинейностямн:

различные виды реле (с зоной нечувствительности, гистерезисом и т. j;

- клапаны (зоны нечувствительности, насыщение);

- нелинейные деформации механических пружин;

- падение давления в сужении трубы; -- силы трения;

аэродинамическое сопротивление;

- свойства пара;

- двигатели постоянного тока с последовательной обмоткой возбуждения (мс мент - функция квадрата тока роторной цепи);

- двигатели переменного тока.

Нелинейные системы (см. примеры 3.8 и 3.9 в ра,зделе 3.2.3) .можно описать в с.№ дующе.м виде

- =/i(Xi,A2,...,X„,Mi.....и)

Или более компактно в матричных обозначениях

y(0 = g(x(0,u(0) (3.7)

где компоненты вектора g суть функции gj, •••> ёр

ё = (g] й - gpf

Обычно для нелинейных систем аналитическое решение не известно, поэтому используются численные .методы, что вполне приемлемо в большинстве случаев. Важно найти уравнения состояния системы, чтобы по нн.м построить .модель. Если известна .модель в виде дифференциальных уравнений, то всегда есть .методы решения.

3.3.7. Численное моделирование динамических систем

Для решения нелинейных дифференциальных уравнений в большинстве случаев исполызуются численные .методы. Основной .метод решения дифференциальных уравнений - апнрокси.мация производных но времени просты.ми разностными уравнениями. Этот .метод называется анпрокси.мацией Эйлера с восходягци.мн раз-

ИОСТЯ.МИ

x(t + h) ~ х(0 + h f(x(0, u(0)

Если известны начальные условия х(0), то .можно рассчитать состояния х(/г), х(2/г), х(,3/г),которые являются приближениями точного решения в .мо.менты вре.мени k, 2h, 3h и т. д. Здесь очень важно выбрать шаг (step) интегрирования /г, который, в принципе, должен быть как .можно .меньше, однако па практике выбирается некая ко.мпромнссная величина. Слншко.м .маленький шаг приведет к неоправданно большому времени вычислений (которое, естественно, enie серьезно зависит от сложности вычислений, тина уравнений, числа неременных и могцности процессора). С другой стороны, слишком большое значение/г вызывает проблемы сходн.мостн peine-ния и приводит к нежелательны.м результата.м. Эффект неправильно выбранного Енага может оказаться очень существенны.м, особенно если .моделируемая система включает в себя и быстрые, и .медленные дина.мические процессы.

Пример 3.16

Проблема слишком большого шага

Для иллюстрации проблемы слишком большого шага рассмотрим простую систему, описываемую уравнением первого порядка

-а-х

где.г(О) = 1 и а > 0. Уравнение и.меет аналитическое решение

x(t) - е "

С другой cTopoHbi, дифференциальное уравнение можно репп1ть численно .методом Э/гтера. При аппроксимации производной конечной разностью

4 Зак- \02\