U{s) s„ + «1

Передаточную функцию также можно рассчитать непосредственно из внутренне: описания в переменных состояния [уравнения (3.1) и (3.2) . Имее-Г место следующ соотношение

G(s)--=C(,si-А)~-B + D

U(s)

где I - единичная матрица порядка п. Вывод .этого выражения очень прост и прив: днтся в большинстве книг по управлению. В системе с одним входом и одним выхс дом матрица С состоит из одной строки, а матрица В - из одного столбца, матрица. имеет размерность и X и. Обычно матрица D (имеющая при этом размерноо! 1 X 1) - нулевая. В этом случае G становится скаляром. Для нескольких входов» выходов G(s) является матрицей с элементами Gjj(s), которые суть передаточик функции для каждой пары вход и выход yj.

Примерз.12

Передаточная функция механической системы

Передаточная функция системы из примера 3.2 (ра,здел 3.2.1) и.меет вид

Z(s) 1 G(s)=--~ F(s) ms

где Z(s) и F(s) - изображения Лапласа для координаты z и силы F соответственно. Уравнения состояния были получены в примере 3.11. Передаточную функцию можно также вычислить непосредственно из уравнений состояния см.уравнение (3.4)]

(7(5) - С - (,vl - А) • В - (1 0)

ствует своя зависимость (в дальнейшем рассмотрение будет ограничено система!, только с одним входом ми одним выходом у). Для дифференциального уравнен порядка п можно выполнить преобразование Лапласа

(s" a,-s" + ... + а„) Y{s) = (о -v" + s" + ... + b„) U(s)

где s - переменная Лапласа, a Y(s) и U(s) - результат преобразования Лапласа (изо; ражение) для y(t) и u(t) соответственно. Преимушество этого метода в том, что ko,v плексиыми переменными ,s, которые представляют собой операторы дифференпир;. вания, можно манипулировать алгебраическими методами. Здесь полагается, ч: начальные значения переменных состояния - нулевые.

Связь между входными и выходными переменными линейной систе.мы .можц: выразить ее передаточной функцией (transfer function), которая определяется Kai отношение между изображениями Лапласа выходного и входного сигналов снсте.\ц

Y(s) bs" + b,s"-U-...b„

Vj(s) \ +s- R-C

И,з.мепение а.мнлитуды выхода и фазовый сдвиг для синусоидального сигнала получаются при за.мене в передаточной функции .vnacij.

Поскольку описание вход/выход содержит .меньшее число коэффициентов, чем BHAiTpeHHee описание в пространстве состояний, то его всегда можно получить из последнего; однако обратное преобразование неоднозначно. Это совершенно естественно, так как вектор состояний х получается с но.мощью подстановки в исходные уравнения новых переменных, которые можно выбрать произвольно, а у и и зависят от физической природы процесса и поэтому определены однозначно.

Знаменатель передаточной функции называется характеристическим уравнением {characteristic equation). Корин характеристического уравнения называются полюсами (poles) и имеют фунда.ментальное значение. Значения полюсов идентичны собственным чнсла.м .матрицы А. Корни числителя передаточной функции называются нулями (zeros). Если нули обозначить Zj,z,„, а полюса - .....р, то при п> т

передаточную функцию (уравнение 3.3) можно записать в виде

л K-(s~z)-(s- zj «j а„

(j(s) =-=-+ ... 4- -

(s- p)-(s -p,) s-p s p„

где я, - действительные или ко.мнлексные константы. Это означает, что выходную переменную,;/можно представить су.ммой показательных функций, которые называются составляющи.ми движения или модами (modes)

y(t) с, • е + ... + с„ • e~f"+ [слагаемые, зависящие от u(t)\

Вещественный полюс соответствует слагае.мо.му с вещественным показателем степени, а два ко.мплексно-сонряженных полюса всегда .можно представить в виде одного слагаемого.

Если два полюса имеют значения

то этой паре соответствует слагаемое передаточной функции

сг, • е • sin(a)f)

Полюса (или собственные числа матрицы А) линейной системы полностью определяют ее устойчивость. Если вещественные части полюсов - отрицателыпле, то реакция на ограниченный входной сигнал и также всегда ограничена, т. е. система устойчива.

Примерз.13 Низкочастотный фильтр

Низкочастотный КС-филътр из нри.мера ЗА .можно характеризовать его передаточной функцией. В нредноложеннн, что начальные напряжения равны нулю, связь вход/выход можно записать как

G(,s) =

входной сигнал и

Рис. 3.14. Выходной сигнал исполнительного механизма с ограничениями

Пример 3.15 Процесс аэрации

Рассмотрим снова станцию аэрации сточных вод (пример 3.8, раздел 3.2.3). Для процесса аэрации принцип суперпозиции не выполняется. Предположи.м, что входной поток воздуха и и скорость поглощения кислорода R не меняются.

Нули определяют значения коэффициентов экспоненциальных функций boj, клике, но при этом не влияют на устойчивость системы. Если полюс располагаетс,-близко к нулю, то соответствующая мода мала. Если полюс и нуль совпадают, j. мода исчезает.

3.3.5. Область применения линейных моделей

Существуют дина.мические явления, которые нель,зя описать линейиы.ми диффе. ренциальны.ми уравнения.ми с постоянны.ми коэффициента.ми. Расс.мотри.м влиящ; нелинейности на при.мерах. Систе.мы, описываемые ниже, ведут себя как линейны; при .малых значениях входных сигналов, а при больших - появляется нелинейность.

Пример 3.14 Ограничения сигнала

В реальных условиях все сигналы ограничены. Во .многих технических системах в качестве конечных управляющих элементов используются клапаны. Поскольку клапан не .может быть открыт больше, чем на 100 %, рассчитанный .мате.матически сигнал управления иногда просто нельзя реализовать (рис. 3.14). Это вызывает определенные трудности в управлении, обсуждае-.мые в главе 6.

Другой при.мер ограничения сигнала - ток ротора электрического двигателя. Ток должен быть ограничен, иначе двигатель сгорит. Соответственно, система управления двигателем не .может быть линейной, особенно при больших ускорениях и мо.ментах, когда ток тоже должен быть больши.м.

выходной сигнал у