лательиы.м .магнитным воздействием ("наводками") и т. п. Все эти сигналы обозначаются вектором V

V = (Oj г.з ... v,„)

Целью системы управления является вычисление на основе имеюп1ихся измерений у таких управляющих сигналов и, чтобы, несмотря на влияние возмущений v, техническая система выполняла поставленные задачи. Управляемую систему можно представить в виде блок-схемы (рис. 3.13), на которой показаны управляюп1ие сигналы, возмущения и выходные переменные.

Рис. 3.13. Блок-схема управляемой системы

Эта концепция объясняется на следующем простом примере.

Пример 3.11

Механическая система

Система в примере 3.2 (раздел 3.2.1) имеет две переменные состояния - положение Z и скорость V. Входная переменная и - это силаF. Положение z (выходная переменная) можно измерить. В векторной форме система описывается как

X - (z v) ; и- F\ у = z (1 0) X

Уравнения состояния имеют вид

и; у - (1 0) X

3.3.3. Описание линейной системы в пространстве состояний

Большинство примеров из раздела 3.2 представляют собой линейные динамические системы, и поэтому их можно смоделировать линейными дифференциа-тьиыми уравнениями, в которых отсутствуют члены, содержапше произведения перемегтых состояния, входных и выходных сигна.тов - типа х, х и или xj Хо- Линейная система, имеюн1ая п неременных состояния и г входных переменных, описывается сле-Ш©Щими уравнениями состояния с постояннылп! коэф(})Ициеи-ами;

(if]

- fl„]Xi + ... + fl„„x„ + + ... + b„,.u

где параметры а- и - константы. Поскольку эти уравнения являются дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, они обладают рядом привлекательных свойств. Например, всегдаможно найти аналитическое решение х(г) при произвольных входных сигналах и(). Начальные условия опредечяются п константами

х(0) = (Х]о л:20 - по)

В матричном виде уравнения состояния записываются значительно проше

- = Ax + Bu

где А и В - матрицы, содержащие постоянные коэффициенты

(3.1)

При единственном управляющем сигнале матрица В имеет только один столбец.

Между внутренними переменными состояния х и измерениями у существует линейная зависимость. Кро.ме того, иногда и.меется пря.мая связь .между управляющими пере.менны.ми и и выходны.ми пере.менны.ми у

г/] =С]]Х] + ... + С]„ + du + ... + d

Ур = Sll + - + рпп + l"! - Рг или в векторно-.матричных обозначениях

у=С X+D U

(3.2)

Если и.меется только одна выходная переменная, то С состоит из одной строки-Обычно нет прямой связи между входными и выходны.ми пере.менными, и тогда ма рица D ~ нулевая.

Линейная система имеет много преимуществ (сравните, например, с некоторыми свойствами нелинейных систем, упомянутыми в разделе 2.2.7). Наиболее важныМ

свойство.м линейных систем является принцип суперпозиции {superposition principle). Это означает, в частности, чтоесли при како.м-либо изменении амплитуды входного сигнала Ам выходной сигнал из.менится на величину Аг/, то при удвоенно.м изменении в.ходного сигнала 2 • Aw выходной сигнал изменится на величину 2 • Дг/.

Линейные системы обладают свойством аддитивности входных сигналов, т. е. если входной сигнал вызывает выходной сигнал z/j, а «2 - сигнал г/2, то общий сигнал Mj -ь «2 на входе приведет на выходе к г/j -ь у2- Как следствие, влияние сигналов управления и возмущений можно анализировать отдельно.

Несмотря на все достоинства линейного описания, применять его следует с большой осторожностью, поскольку большинство технических процессов существенно нелинейны. Если нелинейности "гладкие", т. е. отсутствуют скачки, то при определенных условиях нелинейную систему .можно рассматривать как линейную. Тогда линейное описание справедливо для .малых отклонений вокруг точки равновесия.

Многие пара.метры про.мышленных процессов должны поддерживаться вб.лизи некоторых постоянных - опорных - значений; целью систе.м управления является приведение нара.метров процесса к их опорны.м значения.м. Пока отклонения от опорного значения малы, линейное описание является адекватны.м. Однако при больпгих отклонениях .могут потребоваться более точные .модели, поскольку влияние нелинейности будет существенны.м.

3.3.4. Описание в виде отношений входных и выходных переменных

Частотные .методы (при.мер 3.4 и раздел 3.3.1) используют анализ функций ко.мплек-сной переменной и преобразование Лапласа. Главные элементы этого подхода - передаточные функции, функциональные блок-схемы и их преобразование, anajnis нулей и полюсов. К преимуществам анализа систе.м в частотной области относится во,зможность собрать соответствующие экспери.ментальные данные, позволяющие непосредственно построить удовлетворительную .модель системы. Из-за этого .метод частотных характеристик обычно иснользукя при описании сложных систем, напри.мер усилителей с обратной связью, а также .многих электромеханических устройств и систем.

Если описывается только связь .между входны.ми и выходными сигналами, то некоторые внутренние неременные и их взаи.мосвязи остаются скрыты.ми, представление системы становится более комнактны.м и и.меет .меньшее число нара.метров, чем описание в пространстве состояний. Поскольку в модель включены только входные и выходные неременные, то она называется внешним описанием (externaldescription) в противоположность внутреннему представлению уравнення.ми состояния. Многие регуляторы, например ПИД-регулятор, описанный в главе 6, настраиваются на базе модели технического процесса в виде отноп.1ений входных и выходных неременных.

Из внутреннего описания системы можно исключить вектор х и получить описание системы в виде

гГу d" ,г/ d"u d"

- - - ... + а„у - Й0-- - + - - bu

dt„ dt„ dt„ dt„

i де коэффициенты a и bj .могут быть получены из матриц А, В, С и D. В системах со Многими входными и выходными переменными для каждой пары вход/выход суше-