Рис. 3.12. Система в состоянии теплового равновесия {Т - температура окружающей среды, Т- температура в баке)

Большая разница температур на внутренних и внепншх поверхностях стенок будет вызывать быстрые температурные изменения в баке. Чем больше и R2, тем медленнее будут изменения.

3.3. Непрерывные модели динамических систем

3.3.1. Описание систем во временной и частотной областях - исторический обзор

Описание динамических систем обыкновенными дифференциальными уравнениями восходит, по крайней мере, к Исааку Ньютону. Вероятно, первым провст систематическое изучение устойчивости систем с обратной связью Джеймс С, Максвел. на примере центрифужного маятникового регулятора, разработанного примерно« 1788 году Джемсом Уаттом для управления его паровой машиной, В своей статье 1868 года Максвелл вывел дифференциальные уравнения регулятора, линеаризова. их в окрестности точки равновесия и показал, что устойчивость системы зависите-корней ее характеристического уравнения. Если эти корни имеют отрицательные вещественные части, то система устойчива.

Важнейпшя технологическая задачадля США в 1910-1920 годы - созданиемсж континентальной телефонной связи. Соответствующие исследования привели кС многим важным открытиям в электронике и теории управления и заложили фундамент их становления как научных дисциплин. Благодаря разработке после Перво мировой войны электронного усилителя стали возможны междугородные теле()оИ-ные звонки. /1ля компенсации потерь электроэнергии на больишх расстояниях неоО ходи.мо бы.ло использовать много усилителей, последовательное включение коТ рых, однако, приводило к больнп1М искажениям, поскольку нелинейности каждоГ" усилителя также уси,;п-гва;н1Сь последуюншм каскадом устройств.

Создание Харальдом С. Блэком (Harald S. Black) усилителя с обратной связью решило эту проблему. Внедрение новых и более сложных технических систем требовало в то же время использования новых математических методов. Для систем из пятидесяти и более усилителей анализ характеристического уравнения больше не подходил. Поэтому инженеры в области связи и электронных устройств разработали новый метод исследований на базе комплексного анализа и предложили концепцию частотных характеристик. В 1932 году американец шведского происхождения Гарри Найквист (Harry Nyqvist) опубликовал свою знаменитую теорему о том, как определить устойчивость по форме частотной характеристики. Критерий Найквиста, который в момент своего появления считался революционным, на сегодняшний день представляет собой лицц, небольшую часть вводных курсов по теории управления. Но в те времена военные считали эти теорему настолько важной, что США держали ее в тайне до конца Второй мировой войны.

В большинстве случаев технические процессы очень сложны и нелинейны. В 1940-е годы стал стандартным подходом метод обратной связи; были разработаны устройства на базе концепции пропорционально-интегрально-дифференциального (ПИД) регулирования (раздел 6.4). Метод частотных характеристик доказал свою эффективность для анализа линеаризованных моделей динамики процессов.

В 1950-е годы некоторые исследователи вернулись к описанию систем обыкновенными дифференциальными уравнениями как основе управления процессами. Это направление было стимулировано американской и советской космическими программами, поскольку обыкновенные дифференциальные уравнения представляют собой естественную форму описания динамики космических кораблей. Тенденция усилилась с появлением цифровых ЭВМ, которые позволили проводить расчеты, ранее практически не применявшиеся из-за огромных затрат времени. Цифровые ЭВМ требовали, в свою очередь, новой математики. Инженеры работали с дифференциальными уравнениями состояния, а не впрямую с частотными или характеристическими уравнениями. Были введены новые фундамента,Н)Ные понятия - управляемость, наблюдаемость и обратная связь по переменным состояния. Для ренгения задачи оптимизации траектории полета были разработаны новые разделы вариационного исчисления.

В химии и механике естественным является вывод дифференциальных уравнений модели на базе физических свойств системы. Такой подход возможен и в других приложениях, но, несмотря на это, ПИД-регуляторы используются во многих технических решениях. Поэтому обычной практикой является применение и дифференциальных уравнений, и частотных характеристик. Описания в частотной области по-прежнему популярны в электротехнике и электронике и совершенно естественны для многих приложений. Сложные системы предпочтительнее описывать в терминах обыкновенных дифференциальных уравнений.

3.3.2. Уравнения состояния

Дифференциальные уравнения, описывающие физический процесс, всегда можно преобразовать к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В этом случае говорят, что это описание в виде уравнений состояния или в пространстве состояний (state-space form). Главное преи.мущество такой формы записи в том, что для решения этих уравнений можно использовать числен-

пые методы. Кроме того, четко прослеживается физическая супиюсть процесс; в частности связь между внутренними переменными и внешними входным и вы. ходным сигналами. Аналогично, изучение систем управления с более чем одни;,, входом и выходо.м, проще в форме уравнений состояния. Основой математическо."-: аппарата для моделей в пространстве состояний служит, главным образом, линей, ная алгебра - векторная и матричная нотации значительно упроп1ают описание Однако методы линейной алгебры не требуются, чтобы получить основные пре;. ставления о динамике системы.

Большинство физических процессов можно моделировать на основе функцис-Ta.TbEHiix б.токов, ана.тогичных описанным в примерах раздела 3.2. В обн1ем случэг уравнения баланса нелинейны и, как правило, связаны друг с друго.м. Таки.м образом описание динамики процесса может представлять собой набор нелинейных, связанных между собой дифференциальных уравнений первого порядка д.тя баланса энергии, общей массы, массы компонентов, сил и моментов.

Уравнения состояния представляют собой практичный и удобный способ описания динамических систем. Состоянием называется набор всех переменных - так называемых переменных состояния (srate variables), производные первого порядка с: которых входят в уравнения описания динамической системы. Концепция уравнс-tHHi состояния имеет фундаментальное значение. Если известны текуп1ее состояние системы (пере.менные состояния) и входные сигналы, то можно предсказать ее дальнейшее поведение. 11ри элом предысторию, т.е. как было достигнуто текуп:ее состояние, знать не нужно. Другими словами, состояние - это минимальное количество информации о системе, которое необходимо, чтобы предсказать ее будущее поведение

Состояние X .можно предславить как вектор-столбец, компоненты которого - переменные СОСЛОЯНИЯ

X = (xi Х2 ... х,У

Непосредственно измерить все переменные состояния можно в редких случая.х, т. е. существуют внутренние переменные, за которыми неудается следить с помощью датчиков. Поэтому описание в пространстве состояний называют также внутренним описанием {inlemaldescription). Выходные величины - измерения, обозначаютсяче рез у,У2< ; Ур н составляют вектор у

У = (У1 У2 - Ур)

В обп1ем случае число датчиков связанных с техническим процессом, меньше числа переменных состояния п. Поэтому вычисление х по у - нетривиа7нл1ая задача

На любую техническую систему влияют входные сигналы двух типов сигналь:-которые можно изменять вручную или автоматически какими-либо техническим)-средствами, и сигналы, которыми управлять невозможно. Сигналы первого типа на зываются управлягоии1ми сигналами или неременными управления гг гги сО став.ляют вектор и

U - (Mj М2 ... м,.)

Входные сигна.лы второго типа .могут влиять на систему, но не поддаются упраВ летно. Величина .этих сигналов олражает влияние вненшей среды на систему, напр .\tep и.з.мецеиис (возмуп1еиие) нагрузки, вызванное температурой, радиацией, He**