П ос кол ьку объем Vn остоя н н ый

V dc

- • - = - с + С;

q dt

Вид этого дифференциального уравнения такой же, как и для электрической цепи в примере 3.4. Постоянная времени определяется здесь как Т= V/q. Изменение концентрации в баке при скачке с,- аналогично зависимости, пред-ставленой на рис. 3.5. Репгение дифференциального уравнения имеет вид

с(0 = С;-(1 -е"/)

Интуитивно ясно, что концентрация будет меняться медленнее, если расход жидкости во входном потоке мал по сравнению с объемом У(зто соответствует больнюму значению Т). То есть баланс массы компоненты имеет такие же динамические свойства, что и низкочастотный фильтр.

В принципе, анализ рассмотренной системы можно выполнить и в частотной области, аналогично электрическому низкочастотному фильтру. В этом стучае концентрация входного потока изменяется (модулируется) по синусоидальному закону и изучается частотный отклик концентрации в выходном потоке. Этот подход, однако, не очень практичен для химических процессов, так как постоянная времени может быть порядка часов и такой эксперимент продлится много дней.

Пример 3.8

Аэрация бака очистки сточных вод

Уравпегше, описывающее концентрацию растворенного кислорода в аэраторе станции очистки сточных вод или в ферментаторе, является нелинейным. При этом полагают, что аэратор работает как дозатор, т. е. жидкость поступает в бак и вытекает из него не постоянно, а только в определенные моменты времени. Воздух подается от компрессора с расходом и.

Скорость перехода кислорода из газообразного состояния в растворенное определяется коэффициентом растворимости ki а. Для простоты будем полагать, что этот коэффициент пропорциона.,чен расходу воздуха:

к} а = а - и

где а - коэффициент пропорциональности. В свою очередь, коэффициент растворимости равен нулю при насыщенной концентрации растворенного кислорода {с = с") и максимален при ну.тевой концентрации; эта зависимость моделируется выражением а - и {с" - с). Микроорганизмы потребляют растворенный кислород в процессе своего роста со скоростью R. Упрощенное уравнение баланса массы растворенного кислорода при концентрации с можно записать в виде

- - аи-{с- c)-R dt

Из-за наличия произведения и с система нелинейна.

Пример 3.9

Станция очистки сточных воде замкнутым циклом - простая модель взаимодействия микроорганизмов с загрязнениями

Качественное описание работы станции биологической очистки сточных вод приведено в разделе 2.4.2. Входной поток сточных вод характеризуется концентрацией загрязнений и не содержит живых организмов. В аэраторе - в предположении, что компоненты равномерно перемешаны, - смесь загрязнений с концентрацией s и микроорганизмов с концентрацией с. находится во взвешенном состоянии. Расходы показаны на рис. 3.11.

входной поток " Q

входной поток воздуха

отстой

на переработку

рециркуляция микроорганизмов = Qj-

Рис. 3.11. Простая модель аэратора станции очистки сточных вод

Баштане массы загрязнений и микроорганизмов в аэраторе записывается в виде

приращение массы = втекающая масса ~ истекающая масса + рост - распад

Микроорганизмы возвращаются из отстойника с концентрацией с.. Показатель роста микроорганизмов моделируется величиной р • с., при этом удельный показатель роста р зависит от концентрации загрязнений

Р = Р

где К - постоянный параметр. Рост практически отсутствует при ма.,тых значениях 5 н приближается к максимальному значению Д при высокой концентрации загрязнений. Концентрация микроорганизмов уменьншется из-за их гибели со скоростью, пропорциональной концентрации h с. Уравнение баланса массы .микроорганизмов и.меет вид

dc,.

Qr) СХ

V-{-c,-h-c,)

Загрязнения попадают в аэратор из входного потока и при рецирку.тяции из отстойника. Поскольку предпо.тагается, что загрязнения растворены, их кситентрания одинакова и в аэраторе, и отстойнике. Загрязнения перерабаты-

3.2.4. Уравнения сохранения энергии

В некоторых процессах необходимо регулировать температуру. Динамическая модель системы управления температурой должна учитывать тепловые потоки и накопление тепловой энергии. Во многих случаях 1юток тепла через объект пропорцио-Ha.:ien разности температур на его границах

Я-~-(Л-Г2)

где q - ноток тепла, R - тепловое сопротивление и Г- температура. Перенос теп.та часто моделируется как величина, пропорциональная плоп1ади поверхности А и обратно пропорциональная длине пути / теплового потока

R I

Iack - теплопроводность. Сохранение тепловой энергии можно описать как

где С - теплоемкость, q - а,чгебраическая сумма входящих и исходящих тепловых потоков.

Пример 3.10

Тепловой баланс жидкости в баке

Тепловой баланс жидкости в баке служит и.т.тгострацией закона сохранения энергии (рис. 3.12). Температура жидкости Годнородна внутри бака, телп1ера-тура окружаюп1ей среды - Г, а теплоемкость бака - С/. Сум.марпое тепловое сопротивление верхней и нижней частей - К], а боковых стенок - R. Нагревательный элемент подводит к жидкости тепловую энергию и.

Тепловой баланс

dT 1 1

ваются в аэраторе из-за метаболизма микроорганизмов. Соответствуюн1ая производительность переработки загрязнений определяется величиной j. cx/F, где переменная F называется коэффициентом воспроизводства (yield factor). Тогда уравнение баланса масс загрязнений можно записать в виде

V~=Qs, + Q,s-(Q+Q,)-s-V--c,

Очевидно, что динамика системы является нелинейной удельный показатель роста р зависит от концентрации загрязнений, а расход умножается на концентрацию.