Системы такого рода часто характеризуются относительным демпфированием, чао тотой собственных колебаний, шириной полосы пропускания и коэффициентом уси ления.

Закон Ньютона для систем вращения имеет вид

(7 40)

где Т - сумма всех моментов, действуюших на тело, J - момент инерции и (о - угловая скорость (рис. 3.2). Часто J - непостоянная величина, например, при работе про мып1ленного робота или прокатного стана, и нужно учитывать его зависимость с: времени.

Т,(о

Рис. 3.2. Закон Ньютона для вращения

Если ввести понятие угла поворота е, то динамику вращения можно описать в фор ме уравнений состояния. Нри этом полагают, что известно направление вращения в что величина J постоянна. Тогда дифференциальные уравнения записываются в виде

- = со dt

doi Г

"л "7

Пример 3.3

Момент электрического двигателя

Электрический двигатель связан с нагрузкой жестким валом. Результирующий момент Г - разность между вращающим моментом и моментом сопротивления нагрузки Tj. Момент двигателя 7 является функцией тока ротора, магнитного потока и, в некоторых типах двигателей, угловой скорости и угла поворота. Ток зависит от переходного процесса в цепи ротора.

Момент сопротивления нагрузки также зависит от многих факторов. Кулоновское трение вызывает момент dg, который зависит не от скорости, а только от направления вращения и действует всегда против него (рис. 3.3). В некоторых системах есть вязкое сопротивление с моментом d to, характеризующееся параметром d. В компрессоре или насосе момент сопротивления

нагрузки также зависит от турбулентности жидкости и пропорционален квадрату скорости - й?2 где параметр й?2 зависит от условий работы.

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Рис. 3.3. Момент двигателя как функция угловой скорости

В итоге полный момент сопротивления нагрузки можно представить суммой упомянутых моментов и момента внешней нагрузки Гд-

= ао • sign(co) + d-iu + d2-ii? + TjQ

Функция sign(co) принимает значение -i-l для положительного аргумента со и -1 - для отрицательного и используется для обозначения направления. Общий баланс моментов ротора

где J - полный момент инерции двигателя и нагрузки.

Промышленньи: робот - это сложная механическая система, состоящая из свя-aaHiHjix жестких рычагов. Описание динамики движения манипулятора робота базируется на законах Ньютона. Уравнения Лагранжа являются обобщенной формой закона Ньютона. Существуют деформируемые механические системы, например крыло самолета, при движении которых могут появляться нежелательные колебания; такие динамические системы, вообще говоря, очень сложны для управления.

3.2.2. Электромагнитные цепи

Динамика большинства электромагнитных цепей определяется несколькими основными законами. Законы Кирхгоффа описывают связь между напряжениями и токами в электрической цепи. Электрические цепи образуются ветвями и узлами. Ветвь {branch) определяется как проводник или элемент с двумя концами. Элемент

Рис. 3.4. Пассивный низкочастотный ЛС-фильтр первого порядка Закон Кирхгоффадля напряжений цени дает

V, -Ri- V, - О

где R - активное сопротивление, а v, -- нацряже1гие на конденсаторе, оиредс-ос ура15неиием

ветии может быть пассивным, т. е. сохраняющим или потребляюи1ИМ ток, или активным, т. е. генерирующим напряжение или ток. Узел {node) - это точка, в которой соединяются три или более ветвей. В у.зле ток может иметь более чем один путь. Закон Кирхгоффадля тока утверждает, что

сумма всех токов в любом узле равна нулю

а закон Кирхгоффа для напряжений -

сумма падений напряжения по любому замкнутому контуру равна нулю

Закон Кирхгоффа для напряжений есть следствие принципа сохранения энергии. При записи баланса напряжений можно идти вокруг замкнутого контура в любо.м направлении и суммировать падения напряжения при условии, что каждый элемент учитывается только один раз.

Основы электромагнитной теории сформулированы в уравнениях Максвелла, С точки зрения динамических систем имеется два элемента с зависимым от вре.мени состоянием: конденсатор - для накопления электрического заряда и индуктивность - для накопления энергии магнитного поля.

Конденсатор в цепи накапливает электрический заряд, т. е. энергия сохраняется в электрическом поле. Ток, текущий через конденсатор, пропорционален производной от напряжения на конденсаторе по времени

где С - емкость конденсатора. Пример 3.4

Простая резистивно-емкостная цепь

Рассмотрим простую резистивпо-емкостную {RC) цепь (рис. 3.4) и проанализируем зависимость напряжения на конденсаторе от напряжения источника.