Простейшие правильные фигуры или тела (равносторонний треугольник на плоскости, тетраэдр в трехмерном пространстве и т. д.) в стереометрии называются симплексами. Поэтому полученные описанным путем ДФП, опыты которых располагаются в вершинах симплексов, называются в теории планирования симплекс-планами.

При определении гиперплоскости как отклика четырех факторов, когда ПФП содержит 2* = 16 опытов, для определения 5 коэффициентов ее уравнения приходится брать симплекс-план в виде полуреплики, содержащей 8 опытов, так как четвертьреплика из 4 опытов, естественно, недостаточна для нахождения 5 коэффициентов. Такой план будет ненасыщенным, так как три опыта в нем избыточны. Но опустить их нельзя из-за нарушения рототабельности, ибо оставшиеся опыты будут располагаться в пространстве факторов не симметрично относительно центра.

Параметры симплекс-планов для моделей в виде гиперплоскости с разным числом k факторов приведены в табл. 8-6, из которой видно, что симплекс-планы для модели в виде гиперплоскости могут быть как насыщенными (при й = 3, = 7 и т. д.), так и содержать несколько избыточных опытов.

В последнем случае для уменьшения погрешности адекватности модели в нее могут быть дополнительно введены некоторые члены модели гиперболоида. Например, при k = i полуреплика содержит 8 опытов, модель же гиперплоскости требует определения только 5 коэффициентов. Оставшиеся в избытке 3 опыта позволяют ввести в модель еще 3 дополнительных члена в виде произведений факторов из оставшихся 16 - 5= И членов модели гиперболоида. Но для усреднения случайных погрешностей рационально оставить 1-2 избыточных опыта, т. е. ввести лишь одно или два наиболее значимых произведения факторов (см. § 7-5).

Если экспериментальные данные ограничены результатами 8 опытов ДФП, то для оценки значимосги дополнительных членов последовательно рассчитывают по МНК несколько моделей, вводя в них по очереди различные двойки дополнительных членов. Но этот путь перебора весьма трудоемок и не очень надежен.

Таблица 8-6

так как один и тот же член может иметь малую значимость в сочетании с одними членами и большую - в сочетании с другими.

Более же обоснованный отбор будет в том случае, если есть возможность хотя бы однажды поставить и получить данные всех 16 опытов ПФП и рассчитать одновременно значимость всех членов полной модели гиперболоида, а в дальнейшем использовать лишь один или два наиболее значимых дополнительных члена, содержащих произведения факторов.

В работах по планированию эксперимента часто указывается, что в модели гиперболоида значимы лишь двойные произведения, а тройные и более произведения, как правило, малозначимы. Однако бывают и исключения. Например, решалась задача по подбору модели, описывающей действие прибора для определения текущего значения выработанного ресурса двигателей внутреннего сго-

!)яния. Радиорезонансным методом определялась динамика содержания шлама мельчайших металлических опилок) в системе смазки двигателя. Рассматривая взвешенную в масле металлическую частицу как резонатор, поглощающий радиоизлучение, в модель кроме числа частиц был введен фактор х в виде средней длины этих частиц как резонаторов. Адекватность модели была недостаточной, и для ее повышения кроме длины частиц было введено также произведение средней толщинытдсз и ширины Xi этих частиц как оценка их проводимости (поперечного сечения). Но адекватность оставалась плохой. Тогда в используемую модель экспериментаторы ввели сначала все двойные произведения, затем все тройные произведения, а, отчаявшись, и четверное произведение XiXxaX. Значимость члена XiXXgXi оказалась неожиданно столь высока, что всеми остальными членами модели гиперболоида можно было уверенно пренебречь. Так, в итоге наращивания полной модели гиперболоида удалось «открыть», что поглощение определяется суммарной массой частиц, которая действительно пропорциональна произведению их числа, длины, толщины и ширины, а остальные факторы дают лишь небольшие поправки.

Существенное улучшение адекватности модели, как показывает практика, чаще достигается не перебором возможных взаимных произведений факторов, а переходом к моделям более высоких порядков, т. е. введением членов, содержащих х, и т. д. Это становится понятным, если вспомнить, что введение членов, содержащих взаимные произведения первых степеней, может описать только расходящийся веер прямых линий, показанный на рис. 7-2, б, а для описания веера кривых, показанного на рис. 7-1, б, необходимы произведения более высоких степеней.

Оценка и усреднение случайных погрешностей экспериментальных данных при насыщенных, предельно экономных планах эксперимента, как уже указывалось выше, полностью отсутств.уют. Они не особенно надежны и тогда, когда для усреднения используются 1-2 избыточных опыта. Поэтому всякий раз, когда позволяют условия эксперимента, целесообразно идти на увеличение затрат времени на проведение измерений ради более полного усреднения случайной погрешности исходных данных и более надежной оценки ее размера.

При использовании насыщенных и ненасыщенных оптимальных планов любого вида (ПФП, ДФП) это производится повторением всех опытов оптимального плана несколько раз (2-3 или более). При этом все положительные качества оптимальных планов сохраняются, но усреднение происходит. Например, уже не по 8, а по 16, 24, 32 опытам.

8-4. ОПТИМАЛЬНЫЕ ПЛАНЫ МНОГОФАКТОРНЫХ чЭКСПЕРИМЕНТОВ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

При двух факторах модель функции отклика у = f {xi, Х2) второго порядк а представляет собой поверхность в виде цилиндра, конуса, эллипсоида, параболоида, гиперболоида, параболического цилиндра, параболического гиперболоида и т. д., описываемую в общем случае уравнением вида

{/ = До + + thXi + %4 + «4*2 + asxl Сечения этой поверхности, параллельные каждой из осей Xi и Х2, в общем случае представляют собой кривые также второго порядка (окружности, эллипсы.

J---

3---

3---

0 +?

7 a?,

Рис. 8-3

параболы, гиперболы). Для определения такой кривой необходимо располагать координатами не менее трех ее точек, т. е. факторы и х должны варьироваться не менее чем на трех уровнях.

Поэтому план эксперимента в плоскости факторов х и х на рис. 8-3, а не может состоять лишь из опытов 1, 2, 3, 4, располагающихся в вершинах квадрата, как это было для модели в виде плоскости, а к ним должны быть добавлены опыты 5, 6, 7, 8, располагающиеся в серединах сторон квадрата, и обязательно точка 9 в центре квадрата, чтобы по любому направлению (5-9-7, /-9-4 и т. д.) располагались три точки, определяющие кривизну поверхности в этом направлении.

Представленный на рис. 8-3, а прямоугольный план эксперимента для модели второго порядка вполне работоспособен, хотя и несколько избыточен (9 опытов для определения 6 коэффициентов). Благодаря трем избыточным опытам он позволяет усреднить случайные погрешности и оценить их размер.

Но теория показывает, что такой план не рототабелен, так как удаление от центра точек 5, 6, 7, 8 в у2~раз меньше, чем удаление точек 1, 2,3, 4. Для обеспечения рототабельности этого плана точки 5, 6, 7, 8 (их принято обозначать звездочками, как это сделано на рис. 8-3, б, и называть «звездными») нужно удалить от центра на расстояние а, называемое звездным плечом (ГОСТ 24026-80), в V2 раз большее, чем удаление точек /, 2, 3, 4 от осей х2 или х. В результате этого все точки плана на рис. 8-3, б оказываются лежащими на окружности.

Размещение точек такого рототабельного плана второго порядка относительно поверхности отклика было показано на рис. 7-4, а, иа котором видно, что при колоколообразной поверхности отклика значения у, соответствующие опытам 1-8, .аежат на некоторой замкнутой кривей (окружности, эллипсе), опоясывающей колоколообразную функцию отклика, а значение yi, соответствующее точке 9 центра плана, легкит в области вершины колокола.

Учитывая существенно большее влияние иа функцию отклика случайной ошибки опыта в точке 9, есш. она лежит вблизи вершины колокола, рекомендуется ставить в этой точке плана не один, а По дублирующих опытов для усреднения получаемый результатов. Если же поверхность отклика имеет вид, показанный на рис. 7-1, в, когда центральная точка плана ничем не выделяется среди других его точек, постановка иесколькия дублирующих опытов в этой точке представляется неоправданной.

Общее npaBHjsio построения рототабельных планов второго порядка для произвольного числа к факторов. За «ядро» плана принимают симплекс-план или ПФП линейной модели для k факторов. К нему добавляется 2к звездныя точек (по две на оси каждого на факторов) на расстоянии а от центра плана. И, наконец, планируется один или По опытов в центре плана.

Звездное плечо а (см. рис. 8-3, б) определяется по формуле

а==2

(8-1)