ческое представление функции у =: Of, + ах- - это прямая на плоскости Xi, у, функции у =ао-\- ах + ах - это плоскость в трехмерном пространстве х, х, у. Функция г/ = Gq + сц х + + ах + СзДГз - это гиперплоскость в четырехмерном пространстве, а у -а-\- QiXi + 0X2 + ... + aXk - гиперплоскость в (k+ 1)-мерном пространстве.

Геометрическое представление уравнения х1 + х1 = - это окружность радиуса а на плоскость х х, уравнения Xj + xl -j-+ xl = fl - это сфера радиуса а в трехмерном пространстве х, Xi, х, а уравнения х\ + х?-\- х1-\- ... -\- х = - это гиперсфера радиуса а в fe-мерном пространстве Xi, д; и т. д.

Подобно тому, как в окружность на плоскости можно вписать квадрат, а в сферу в трехмерном пространстве можно вписать трехмерный куб, так и в гиперсферу в -мерном пространстве можно впивать гиперкуб той же размерности. Таким образом, для описания функций в й-мерном пространстве пользуются понятиями гиперплоскости, гиперсферы, гиперкуба и т. п.

Принципиальное отличие многофакторной математической модели от однофакторной состоит в невозможности ее графического изображения. При однофакторной зависимости можно нанести на один и foT же график (см. рис. 6-14, а) как экспериментальные точки, так и кривую предлагаемой модели и наглядно увидеть, где и в какую сторону они отклоняются друг от друга. При многофакторной зависимости это возможно лишь тогда, когда ее удается разложить на ряд однофакторных. Если же сделать этого не удается, то проследить изменение погрешности адекватности можно путем построения графика г/,- =f (у), который был показан на рис. 6-14, б. Такой график может показать, что при одних значениях у принятая модель хороша, а при других - неудовлетворительна. Но вопрос о том, как же нужно ее изменить, остается без ответа, и практическим путем подбора адекватной многофакторной модели остается лишь метод проб и ошибок, так как выбор того или иного решения приходится производить, не имея нужной информации.

До разработки теории планирования эксперимента решения, принимаемые без какого-либо обоснования, называли просто необоснованными. Но при планировании эксперимента принятие таких решений неизбежно, поэтому в современной литературе для них утвердились специальные термины.

Если для принятия решения нет никаких данных и его приходится принимать на собственный страх и риск, то такое решение именуют волевым. Если же для принятия решения есть какие-то, хотя бы отдаленные, аналогии или ассоциации, косвенные соображения, наводящие на мысль о возможности такого решения, то его именуют эвристическим. Этими терминами и будем далее пользоваться.

Вследствие указанной трудности отыскания решения, обоснованного путем последовательной аппроксимации, для описания

результатов многофакторного эксперимента на практике часто прибегают к прямо противоположному приему, а именно чисто волевому назначению вида математической модели и лишь последующей проверке ее адекватности.

Так, например, из опыта различных наук (физики, механики, радиотехники и т. д.) известно, что большая часть уже полученных формул, описывающих самые разные явления, имеет вид произведения величин в различных степенях:

г/ = аоХ?Х2 ... (7-1)

где Й1, fife могут быть как целыми, так и дробными, как положительными, так и отрицательными.

Исходя из этого может быть выдвинуто предположение о том, не описывается ли данная исследуемая многофакторная зависимость подобной математической моделью? Для проверки такого предположения удобен следующий прием. Если выражение принятой модели прологарифмировать, то получим Ig у = Ig + + Й1 Ig Xi -Ь fig Ig Xg -Ь ...+ % Ig Xfe. Если теперь произвести подстановки вида Igy =Y, Ig «о = 0, Ig Х, Ig = Х, то уравнение модели примет вид

У =А„ + a,Xy 4- aXg + ... -f аХ, (7-2)

следовательно, в логарифмических координатах (по всем осям) такая модель представляет собой гиперплоскость.

Учитывая, что стандартные программы для обработки МНК экспериментальных данных на ЭВМ составлены именно применительно к уравнению (7-2), т. е. к уравнению гиперплоскости, это представляет несомненное удобство.

Модель (7-1) в виде произведения всех факторов, как в положительных, так и в отрицательных степенях, называется в теории эксперимента мультипликативной моделью и замечательна тем, что с ее использованием были решены очень многие задачи гидродинамики, аэродинамики и теплотехники.

Другой, часто назначаемой волевым образом моделью является аддитивная модель, т. е. модель гиперплоскости (7-2). Это оправдано тем, что как бы ни была сложна поверхность отклика многофакторного эксперимента, ее м а л ы е . участки, не содержащие экстремальных точек, с достаточным приближением могут быть заменены участками плоскости, KacaTCibKbiMH к кривой поверхности в центре этого участка. Это так называемое «чешуйчатое», или «граненое», описание кривой поверхности, которое позволяет получить ценные сведения о такой поверхности. В частности, по этой модели можно узнать «высоты» участков поверхности, углы и направления склонов, определить положение и направления изолиний и т. п., т. е. иногда такое «граненое» описание кривой поверхности часто оказывается очень удобным.

Основным недостатком аддитивной модели является то, что

для каждой соседней грани все коэффициенШ Л©, fli, % модели (7-2) должны определяться заново, так как при переходе от грани к грани они получают новые значения.

Допустимая протяженность грани при аддитивной модели определяется нарастающей на краях грани погрешностью адекватности, а выбор ее аналогичен выбору длин участков кусочно-линейной аппроксимации кривых. Первым условием для выбора допустимых границ изменения Xj может служить условие Axi С

Рассмотренные мультипликативные и аддитивная модели получили наиболее широкое распространение для описания многофакторных зависимостей, что объясняется прежде всего их предельной простотой: при k факторах они требуют определения всего k -f- I коэффициента.

Протяженность каждой грани аддитивной модели могла бы быть существенно увеличена, если бы эти грани были не плоскими, а искривленными. Этого можно достигнуть, конечно, переходя от аддитивных моделей первого порядка (включающих Xt только в первой степени) к аддитивным же моделям второго, третьего и более высоких порядков (включающих члены вида xj, л:! и т. д.). Но такие модели очень сложны. Однако есть один вид поверхности, который занимает промежуточное положение - это винтовая поверхность, сечения которой как вдоль оси х, так и вдоль оси 2 являются прямыми линиями, но наклон их линейно изменяется с изменением координаты. Это частный случай многомерного гиперболоида, описываемый, например, при трех факторах уравнением вида

у =ао + -f Gaa -f aXs +

+ aXiX + axXg + ахх -f аххх. (7-3)

При двух факторах - это гиперболоид в трехмерном пространстве с уравнением вида

г/ == йо -f ajXi -f OgXa i- OgXiXg. (7-4)

Если на плоскости у = -г ах -4- ах провести линии постоянных Х2, а затем спроектировать эти линии на плоскость у, Xl, т. е. вдоль оси Xg, то прямые постоянных Xg дадут в этой проекции пучок параллельных прямых (рис. 7-2, а). Если такую же операцию провести Haz< гиперболоидом (7-4), то в проекции на плоскость Xl, у (рис. 7-2, 6) по.яучится веер расходящихся прямых. Этим и следует пользоваться на практике как признаком выбора между моделью в ввде гиперплоскости (7-2) или же в виде гиперболоида (7-4).

Модель поверхности в виде многомерного гиперболоида (7-3) часто позволяет существенно уменьшить погрешность адекватности при описании изогнутых поверхностей отклика. Поэтому в современной теории планирования эксперимента эта модель заняла, по существу, доминируюш,ее положение. Члены, содер-