X, i2 xs X» Xj я,, г„ г, x,j J/ г„ 4 % 4Г5

Рис. 7-1

переход от однофакторного эксперимента к многофакторному и сколь трудным оказывается самый первый этап исследования, состоящий в обнаружении всего перечня влияющих факторов.

Достаточно большой раздел современной электротехники сводится, по существу, к одной математической модели, состоящей из двух соотношений:

р1 4р/ тсс

и их композиции в виде

Но на отыскание этой математической модели всего шести факторов Z = / (р, /, d, /, W, Rm) электротехника затратила не одно десятилетие. Отсюда можно заключить, что история развития точных наук (а возможно, и не только их) состоит в нахождении перечня факторов и создании многофакторных математических моделей исследуемых явлений и их интерпретации. Важной ступенью в решении любой научной проблемы является интерпретация постоянных, входящих в математические модели, т. е. введение новых, не известных до этого понятий: ускорение земного притяжения - g, удельное электрическое сопротивление - р, угловая частота - ю, индуктивность - L, магнитное сопротивление - Ям и т. д.

Таким образом, обработка результатов измерений, получаемых при многофакторном эксперименте, имеет целью получение основополагающих научных данных в виде неизвестных ранее математических моделей и их интерпретацию, а отнюдь не сводится к простому вычислению X, ог или а.

Однако постановка многофакторных исследований чрезвычайно трудоемка. Поэтому не случайно, что исследования Галилея заняли более 25 лет, а электротехнике для получения упомянутой модели из шести факторов потребовалось несколько десятилетий.

Для определения однофакторной зависимости у =f{x) (рис. 7-\, а) нам достаточно поставить всего, например, пять опы-

тов. Но если это двухфакторная зависимость у =f (дсц х, то, желая исследовать по каждому из факторов х и х те же пять уровней, мы уже вынуждены поставить (см. рис. 7-1,6) л = = 5 =25 опытов. В этом случае число опытов п, число уравнений варьирования переменных q и число исследуемых факторов k связаны соотношением п = Для рассмотренной электротехнической задачи при = 6 и построении каждой частной кривой всего по пяти точкам (q = 5) общее число опытов п = 5* = 15 625, т. е. в 625 раз больше, чем в задаче Галилея.

Это катастрофическое возрастание числа п необходимых опытов с ростом числа k учитываемых факторов при многофакторном исследовании получило в теории эксперимента образное наименование «проклятия размерности». Единственный принципиально возможный проход сквозь «проклятие размерности» был указан в 1925-1929 гг. английским статистиком Рональдом Фишером. Он показал, что «проклятие размерности» наложено на нас только до тех пор, пока мы находимся в плену традиций однофакторного эксперимента, т. е. пытаемся по очереди снимать частные зависимости у =h {Xi), У = h (й), У =fs {Xs) и т. д., а все другие влияющие факторы, кроме исследуемого, стараемся стабилизировать. (Отсюда и йроистекает классическое правило: «никогда не меняй два фактора Xi и х, одновременно, так как не поймешь, от чего же изменился уу>.)

Р. Фишер указал, что проход сквозь «проклятие размерности» обеспечивается при отказе от этого классического правила, при отказе от многих однофакторных экспериментов в пользу единого многофакторного эксперимента. Этот принцип состоит в одновременном варьировании всех k переменных. При этом, правда, нельзя логически заключить, от какого сочетания Xj произошло изменение отклика у, однако можно составить систему уравнений и, решив ее, сразу получить коэффициенты влияния для всех k факторов.

Математические модели многофакторных зависимостей. Эти модели, естественно, разнообразнее однофакторных моделей. Поэтому и подбор наиболее удобной аппроксимирующей функции для многофакторной зависимости является существенно более сложным. Наиболее действенным методом, облегчающим подбор и интерпретацию многофакторных моделей, является удачное расчленение общей задачи на ряд частных, решение каждой из них в отдельности и, наконец, объединение, композиция полуденных частных функций в общую математическую модель.

Именно таким путем происходил, например, поиск математической модели в электротехнике. Прямое решение общей задачи, т. е. поиск функции сразу шести факторов, практически невозможен, так как выделить и опознать вид частных функций, входящих в модель из шести факторов, чрезвычайно трудно. Поэтому исторически решение шло другим путем. Были опознаны частные функции: модель активного сопротивления г = fi (Xi, х, х з)

реактивного сопротивления х =f {х, х,, х, и затем решалась задача их композиции в общую модель. Этот метод декомпозиции сложной задачи и есть, по-видимому, общий метод решения в трудных случаях исследования.

Другим методом, часто значительно облегчающим классификацию и интерпретацию сложных моделей, является их геометрическое представление. Для этого все направления изменений факторов х, х, х трактуются как ортогональные оси некоего многомерного пространства факторов. При однофакторной зависимости у =f (Xj) все значения этого фактора размещены лишь на оси Xi. При двухфакторной зависимости у =f (xi, Xg) пространство факторов представляет собой уже плоскость с осями х и Xg, а любое сочетание факторов характеризуется точкой на этой плоскости с координатами Хц Xg. При трехфакторной зависимости данное сочетание факторов характеризуется точкой в трехмерном пространстве с координатами Xi, Xg, Xs, при четырехфакторном или в общем случае ft-факторном эксперименте - координатами точки в ft-мерном пространстве факторов.

Так как пространство модели у кроме осей Xi, Хя содержит еще и ось у, то размерность пространства модели равна k I, т. е. всегда на единицу больше размерности пространства факторов.

К сожалению, графически (в аксонометрии) невозможно изобразить более чем трехмерное пространство, поэтому приходится ограничиваться графическим изображением лишь одно-, двух-и трехмерных пространств, на них выяснять правила перехода при повышении размерности и распространять их на пространства большей размерности, которые приходится описывать лишь словесно или аналитически.

Так, на рис. 7-1, а пространство фактора х - одномерно, а пространство модели у = f (х) - двухмерно, - это плоскость х, у. На рис. 7-1, в пространство факторов - это плоскость Xi, Xg, а модель у == f (xi, Xg) расположена в трехмерном пространстве х, Xs, у.

Сократить размерность пространства на единицу можно путем его проекции вдоль какой-то оси. Так, на рис. 7-1, б изображена проекция трехмерной функции у =/(Xi, Xg) рис. 7-1, в вдоль оси Xg на плоскость х, у. Этим приемом часто пользуются, изображая функцию многих переменных в виде семейства кривых. Координаты же по оси Xg, вдоль которой производилась проекция, приходится помечать числами или знаками у каждой кривой семейства, понимая их как параметр данной кривой.

Функция у =f (xi, Xg) геометрически интерпретируется как некоторая поверхность в трехмерном пространстве (плоскость, часть сферы и т. д.). Для наименования аналогичной поверхности в ft-мерном пространстве (где ft > 3) используется, как правило, тот же термин, но с приставкой «гипер». Так, например, геометри-