р, у или есть некоторая средняя (опирающаяся на е. к. о.) оценка ширины полосы погрешностей одним числом без учета формы этой полосы. При аддитивной полосе погрешностей (рис. 6-13, а или 6-14, б) ничего большего и не нужно, но при более сложной форме полосы погрешностей (рис. 6-1, а; 6-3, б; 6-12; 6-13 б или е) такая оценка есть нечто среднее, слабо характеризующее максимальную и минимальную ширину этой полосы, особенно если эти размеры существенно различаются между собой.

Поэтому более полной характеристикой полосы разброса экспериментальных данных при определении функциональных зависимостей следует считать не указание одного числа в виде у, а или р, а сообщение о форме полосы погрешностей в соответствии с рис. 6-13 и описание ее соответствующей одночленной, двучленной или трехчленной формулой.

В простейшем случае - это указание погрешности в начале и конце диапазона, т. е. при у =0 и у = ущк (для полосы на рис. 6-13,6), или в трех точках диапазона (для рис. 6-13, е). Этот простейший способ указания погрешности результатов эксперимента и должен быть, по-видимому, рекомендован как основной способ «нормирования.

6-8. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ПОЛОСЫ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ УСРЕДНЕННОЙ ОДНОФАКТОРНОЙ МОДЕЛИ

Весь смысл большой дополнительной затраты времени на проведение многократных отсчетов состоит в том, что модель исследуемой зависимости, полученная путем усреднения всех этих данных, будет в значительной степени свободна от случайных погрешностей, присущих используемому методу измерений.

Однако путем усреднения случайные погрешности не устраняются полностью, а лишь уменьшаются в определенное число раз. Поэтому полученная в результате статистической обработки (как глазомерными, или медианными способами, так и МНК) усредненная модель также имеет свою полосу неопределенности, хотя и более узкую, чем полоса разброса исходных экспериментальных данных.

Рассмотрим это на примере простейшей модели вида у = = у ах, которая была представлена на рис. 6-10. При л; = О произведение ах также равно нулю и неопределенность центральной точки модели определяется только погрешностью определе-ния у. При использовании МНК с. к. о. ад =aJYn - /, т. е. дисперсия о меньше дисперсии а\ разброса исходных данных относительно линии регрессии в п - / раз, где п - число усредняемых экспериментальных точек, а / - число определяемых коэффициентов.

Однако при отступлении от л; = О, кроме ошибки Од будет сказываться и ошибка До в определении коэффициента регрее-

сии а. Этот вопрос исследовал еще Бартлет и нашел, что квантильная оценка этого разброса

Aa = t

где t - квантиль распределения Стьюдента с v = л - I степенями свободы; /-число определяемых МНК коэффициентов (в данном случае равное 2), а р - коэффициент корреляции экспериментальных точек. А так как определяемое по МНК само значение а = роу/а, то

1 -(

Оа р " " t рГи -/

Если погрешность, создаваемая неопределенностью у, является аддитивной, т. е. дает постоянную по ширине полосу возможных положений линии регрессии, то изменение коэффициента регрессии а на величину Да изменяет наклон линии регрессии и создает мультипликативную составляющую погрешности модели. Среднее квадратическое отклонение величины ах

ах 1 /1 - р*

(6-15)

т. е. линейно возрастает с увеличением х по мере удаления от центра тяжести поля экспериментальных точек.

При расположении начала координат в точке х п у эти погрешности независимы и

(6-16)

ГЛАВА СЕДЬМАЯ

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ

И ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

ПРИ МНОГОФАКТОРНОМ ЭКСПЕРИМЕНТЕ

7-1. МНОГОФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ И ЕГО ОСОБЕННОСТИ

Как уже указывалось выше, измерение отдельно взятых величин в практике измерений встречается довольно редко. Однако и определение функциональных зависимостей вида у = / (х) также

является идеализацией, так как в природе очень трудно указать такую величину у, которая зависела бы лишь только от одного единственного фактора х, а к изменению всех других факторов была бы абсолютно нечувствительна. В действительности как раз наоборот: наиболее часто встречающейся на практике задачей является установление вида функции многих независимых переменных

У =f Okt Xk)y

т. е. отыскание математической модели исследуемого явления, описывающей характер взаимосвязей между включенными в нее переменными у, Xi, х, х.

Осуществление многофакторного эксперимента существенно более трудоемко, чем однофакторного. Однако развитие всех наук (от механййи до электроники или биофизики) убенедает в том, что это единственный путь научных исследований. Так, закон равноускоренного движения теперь мы записываем в виде формулы S = gf/2. Однако на установление ввда этой функциональной зависимости Галилей затратил более 25 лет своей жизни. Он начал свои опыты в возрасте 19 лет (в 1583 г.) с наблюдения раскачивания лампады, подвешенной на длинном подвесе в Пи-занском соборе, которую кто-нибудь нечаянно толкнул. При этом, следуя совету Кардана, период колебаний он измерял по биению собственного сердца. Затем (с 1590 г.) продолжал эти исследования путем бросания тяжелых и легких тел с Пизанской башни. Этими опытами он опроверг бытовавшее ранее мнение, что скорость падающих тел пропорциональна их весу. Однако в 1606 г., т. е. после 23 лет исследований, Галилей еще считал, что скорость падения юзрастает пропорционально пройденному пути. Наконец, в период между 1606 и 1609 гг. Галилеем был поставлен уже двухфакторный эксперимент. Различные значения высоты S и ускорения g моделировались с помощью наклонной плоскости, а измерялся отклик в виде времени t. Для повышения точности эксперимента в длинных (12 локтей) досках был прорезан прямой желоб, покрытый для уменьшения трения гладким пергаментом. Шар из твердой бронзы был хорошо отполирован и отпускался с разных высот, а точность измерения времени была существенно повышена путем взвешивания на весах количества воды, натекавшей через тонкую трубочку из ведра в подставленный бокал.

В итоге было доказано, что скорость падения пропорциональна не пройденному пути, а истекшему времени, т. е. v =gt и S ~ = gf/2. При этом замечательно то, что Галилей уже отчетливо понимал роль математики, он хотел чтобы на обложке собрания его сочинений были написаны слова: «Отсюда станет понятным на бесчисленных примерах, сколь полезна математика в заключениях, касающихся того, что предлагает нам природа».

Этот исторический пример наглядно показывает, сколь важен