Используя нодобнБЮ преобразования и подстановки, необходимо, правда, иметь в виду следующее. При графической аппроксимации или аппроксимации методом наименьших квадратов мы стреЬШмся минимизировать (уравнять положительные и отрицательные значения) абсолютные погрешности. При этом относительные погрешности в начале и конце диапазона изменения переменных оказываются существенно различными.

Если после этого производят подстановки вида X = Ijx или F ~ to начало и конец диапазона меняются местами, а следовательно, меняются местами и погрешности. Эти преобразования погрешностей следует контролировать, в противном случае сшй могут привести к большим неточностям.

Покажем это на конкретном примере. Пусть рассчитывалась .аппроксимация кривой вида у = а/х и в ее нижнем конце текущее вначение у имело порядок 0,1 единицы, а в ее верхней части достигало значения 10 единиц. После преобразования Y = 1/у прямая У = х/а в верхней части получит значения F = 1/0,1 = = Ш, а в нижней части - значения F = 0,1. Пусть мы аппроксимировали ее с абсолютной погрешностью, как в верхней, так и в нижней части, равной 0,02. Но в верхней части прямой эта ошибка соответствует относительной погрешности 0,02/10 = = 0,002 = 0,2%, а в нижней - 0,02/0,1 = 0,2 = 20%. Поэтому после возвращения в координаты у = а/х нижняя часть кривой будет аппроксимирована с абсолютной погрешностью, равной Ol -0,2% == 0,02/100 = 0,0002 единицы, в то время как верхняя часть кривой будет аппроксимирована с погрешностью Ш-20% = к--= 200/100 = 2 единицы, т. е, в 10 ООО раз большей.

Обратив на это внимание, положение легко исправить, но если нодобное явление останется без соответствз-ющего анализа получающихся погрешностей, то может быть причиной серьезных недоразумений.

Графоаналитические ааетоды определения параметров выбранной аппроксимирующей функции благодаря своей простоте и, особенно, наглядности не потеряли своего значения при анализе однофакторньгх зависимостей даже при наличии больших ЭВМ и карманных программируемых калькуляторов. Они позволяют очень быстро получить приближенные значения параметров, а тем самым за малое время проверить несколько вариантов, и если принятая модель оказывается неподходящей, то графическое построение наглядно показывает, каким образом следует ее изменить или дополнить.

Иа графике однозначно можно опознать только прямую линию. Только прямую линию при помощи линейки можно продлить ца достаточно большое расстояние. Другие кривые такими свойствами не обладают. Поэтому при построении экспериментальных данных координатные оси модели следует преобразовывать до. тех пор, пока не будег получено уравнение прямой линии.

Рассмотрим простейглий пример. Пусть экспериментально по-

лученные значения х и у располагаются на графике так, что нами было принято регаение описать их в среднем моделью вида у ах/(\ - Ъх).

Вычислить значения постоянных а и о можно по любым двум из экспериментальных точек. Но этого делать не следует, так как из-за случайного разброса каждая пара экспериментальных точек будет давать свои значения для а к Ь. Полезнее преобразовать это уравнение в уравнение прямой, например, так: у - Ьху = ах и Z = у/х = а + by. Тогда, вычислив для каждой точки вначение z = у/х и нанеся эти точки в координатах {z, у), мы будем иметь возможность провести через полосу этих точек (на глаз или методом медианных центров) среднюю прямую, которая отсечет на оси Z значения а, а по ее наклону можно будет рассчитать вначение Ь. Особенно эффективно использование графоаналитических методов определения искомых параметров тогда, когда обратное преобразование в элементарных функциях не выражается и аналитическое решение невозможно.

Аналитические методы. Как видно из примеров систем уравнений [см., например, систему (6-1)], число независимых уравнений системы равно числу п поставленных опытов.

С другой стороны, для определения k коэффициентов необходимо не менее k независимых уравнений. Но если число п поставленных опытов и число независимых уравнений равно числу искомых коэффициентов, то решение системы единственно, а следовательно, случайно, так как точно соответствует случайным значениям исходных данных.

При числе опытов п, большем, чем число k искомых коэффициентов, число независимых уравнений системы избыточно. Из этих уравнений в разных комбинациях можно составить несколько систем уравнений, каждая из которых в отдельности даст свое решение. Но между собой они будут несовместны. Каждое решение будет соответствовать своей аппроксимирующей функции. Если все их построить на графике, то получим целый пучок аппроксимирующих кривых.

Это открывает при п > ft совершенно новые возможности. Во-первых, этот пучок кривых показывает форму и ширину области неопределенности проведенного эксперимента. Во-вторых, может быть произведено усреднение всех найденных кривых. Полученная усредненная кривая будет гораздо точнее и достовернее описывать исследованное явление, так как она в значительной степени освобождена от случайных погрешностей, приводивших к разбросу отдельных экспериментальных точек.

Таким образом, проведение большего числа опытов п, чем минимально необходимое для расчета коэффициентов п = ft, позволяет определить область неопределенности по фактическим данным эксперимента и одновременно существенно уменьшить случайную погрешность окончательного результата путем усреднения.

6-5. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Усреднение несовместных решений избыточной системы уравнений может быть произведено различными способами (на глаз, методом медианных центров и т. п.). Наиболее мощный метод был разработан в 1795-1805 гг. Лежандром и Гауссом и получил название регрессионного анализа, или метода наименьших квадратов (МНК). Таким образом, МНК - это «новинка» 180-летней давности. Но теперь благодаря возможности широкого доступа исследователей к ЭВМ этот метод получил, по существу, второе рождение. Это произошло потому, что вычисления по МНК чрезвычайно громоздки.

С появлением легкого доступа к ЭВМ положение коренным образом изменилось. Программа обработки данных МНК содержится в математическом обеспечении любой ЭВМ. Поэтому практически надо только ввести свои данные в соответствии с этой программой и дождаться готового ответа. Но чтобы представлять себе, что делать с нашими данными ЭВМ по программе МНК, рассмотрим сущность МНК на примере простейшей задачи.

Сущность МНК. Пусть после предварительного анализа, описанного в предыдущем параграфе, была выбрана модель вида Р = Go ~Ь GiX -+- ах. Теперь задача состоит лишь в том, чтобы найти наилучшие значения параметров модели Oq, и а. Значения же Xi к t/i, наоборот, нам известны. Это не переменные, а конкретные числа, полученные в наших опытах. Поэтому любая функция от X (будь то х, Ух, In X, sin хит. д.) при известном х - это тоже определенное число. Отсюда, введя обозначения х - Xi и х = Ха, можно сделать подстановку, после чего наша модель

получит вид ] = Со + OiXi + 03x2.

Между рассчитанными по модели значениями и экспериментальными отсчетами t/i будут наблюдаться отклонения. Введем для них обозначение Ayg = t/ - t- МНК позволяет найти такие вначения искомых параметров моделей щ, и щ,, при которых

сумма по всем п точкам 2 А«/г ~>- niin.

Если это описать формально, т. е. взять поочередно частные производные по Со, а, и приравнять их нулю, то получим систему из трех уравнений, решением которой и будут искомые Со, fli и а. Итак,

Arf = (Sl - fff = {yt - oa - aixu - chXiif\

S Af = S {Vi - aa~- aixii - azxtf, производная no

д S Agj[ / cJfla = -- 2 2 (j/i--«а - aiXu - GsXaj) = Oj