Очень удобными при аппроксимации оказываются дробно-рациональные функции. Их практическая особенность состоит в том, что чаще всего исследователь не подозревает и не может догадаться, что интересующая его зависимость аппроксимируется именно этими функциями. Мы легко узнаем только простейшую равнобокую гиперболу, асимптотами которой служат оси координат (кривая 1 на рис. 6-8, а). Но если эта 1ипербола сдвинута (кривая 2) или перевернута (кривая 3), то мы уже ее не узнаем, а попытка аппроксимировать ее многочленом приводит к громоздкому выражению. Поэтому целесообразно взять себе за правило, прежде чем использовать аппроксимацию многоч.леном или экспонентами, обязательно проверить, не является ли искомая кривая простейшей, сдвинутой от начала координат гиперболой.

Проверка того, является ли данная кривая гиперболой, состоит в построении графика 1!у = / (х) (рис. 6-8, б). Если является, то экспериментальные точки ложатся на прямую, а ее продолжение до пересечения с осями х и у позволяет графически опреде-vTHTb неизвестные когфЛ)ицненты а, b или с.

При этом замена координаты у на 1/у (и соответственно х на ifx) допустима лишь в том случае, если сдвиг по этой координате отсутствует, т. е. другая ось является асимптотой такой пшер-болы. Это вызвано тем, что при сдвиге, например, вдоль оси х аналитическое описание гиперболы имеет вид у = аЦЬ--х). Обращение оси у приводит к зависимости вида = (6 - = = bja - xia, т. е. прямой в координатах l/y и х. При сдвиге же вдоль оси у уравнение гиперболы имеет вид у ~ с ~\- а/х, а следовательно, l/y = 1/(с + а/х) = х/(а + сх) не есть прямая линия.

Особенно сложен для проверки случай, когда гипербола сдвинута одновременно по обеим осям (на величину с по оси у и на величину b по оси х), т. е. имеет уравнение у = с ~\- al(x - b) или в неявном виде (х - Ь) {у - с) = а. В этом случае приходится двигаться методом последовательных приближений: задавать ряд возможных значений Ь, вычислять значения 1/(х - Ь) и остановиться на том значении Ь, когда у = с ~\- а/(х - Ь)в координатах у и 1/(х - Ь) даст расположение точек, наиболее близкое к прямой линии. Р1ли же методом наименьших квадратов одновременно найти коэффициентыа,Ъ,съ уравнении {х - Ъ) (у - с) == а.

Рис, 6-9

В качестве примера дробно-рациональной функции рассмотрим функцию вида

Ь + х"

(Задавать постоянное слагаемое в внаменателе в виде 6" удобнее для последующей интерпретации, так как в этом случае постоянная b имеет размерность х.) При т = 0, Ь = 0ип = 1 эта функция - простая гипербола вида у = а/х (кривая 1 на рис. 6-9, а); при /п = О и п = 1 - кривая 2 вида у = а/(Ь + х), при т = 1 и я = 2 - кривая 3 на рис. 6-9, а; при m = 1 и п = 1 это кривая 4 на рис. 6-9, б вида у - ах/(Ь + х), вначале возрастающая линейно с увеличением х, а затем стремящаяся к постоянному значению, равному а, при п - т - кривая 5, переходящая с уровня j; = О на уровень у = а с крутизной, зависящей от значения я = т, и, наконец, при т = 2ип = 4 - колоколообразная кривая 6, сначала возрастающая пропорционально х, а затем спадающая обратно пропорционально х. Таким образом, функции этого вида могут оказаться полезными Б самых разнообразных случаях аппроксимации эксперименталь--ных кривых.

6-4. РАСЧЕТ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ ПАРАМЕТРОВ ВЫБРАННОЙ АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

Если подбор вида аппроксимирующей функции, как это подчеркивалось выше, процесс неформальный и не можег быть полностью передан ЭВМ, то расчет параметров аппроксимирующей функции выбранного вида - операция чисто формальная и ее следует осуществлять на ЭВМ. Более того, это трудный и утомительный расчет, в котором человек не застрахован от ошибок, а ЭВМ выполнит его быстрее и качественнее.

В общем случае этот расчет состоит в решении системы нелинейных уравнений. В частных случаях это может быть: система уравнений, линейных относительно искомых параметров, система

уравнений, которые после преобразований сводятся к линейным относительно искомых параметров, и, наконец, когда уравнения системы не сводятся к линейным. В последнем случае приходится прибегать к их приближенной линеаризации на каком-то участке й мириться с возникающими от этого погрешностями.

Так, например, если известны координаты х, х, х„ и Oi, Уа. У п. Д-я " экспериментальных точек, а для аппроксимации принята модель в виде многочлена = йо + щх + (цх -- ... ... + OfeX, то расчет неизвестных коэффициентов, т. е. искомых Оо, •••> «fe по известным координатам п точек, сводится к решению системы уравнений, линейной относительно искомых йо, --•> flfi

91 = оо + aiXi -f сгх? -f . . . -f анХъ yz = aa-\- aiX2 -\-a2xl-\-: . .-\- аих{. •

9п = Оо + aiXn + oxl + . . . + ukXn-

Если для аппроксимирующей функции принята модель, не приводящая к системе линейных уравнений, например модель вида у = ax/ib + X®), то путем преобразований Ьу + ху = ах и ху = ах - Ьу и замены переменных ху = г и = с ее можно привести к виду г = ах - су. Тогда расчет а и с сведется к решению системы линейных уравнений;

Zi = axi - суи Za = ах2 - су2;

(6-2)

Zn = axr, - cyn.

Но могут быть случаи, когда уравнения системы не сводятся к системе линейных уравнений. Например, при аппроксимирующей функции вида у = аехр -) после логарифмирования получаем In «/ = 1п о - (х 2Ьх + Ь)/с или In г/ = In а - + 2Ьх - t, т. е. получаем квадратное уравнение относительно искомого Ь. Однако вводя замену переменных с1па - Ь==А и = В, получим = А - В In у + 2Ьх и задача отыскания Л, Б и Ьсведется к решению системы линейных уравнений;

X? = Л - Б 1п t/i + 2bxi; Х2 = Л - Slnt/2 + 2bX2;

х = Л-Б1п«/„ + 2Ьх„, а по найденным А, В и b можно будет вычислить с и а.

(6-3)