Второй пример (рис. 6-4, б) - это ввйор наиболее достоверного из трех, параллельно действующих измерительн.ыж каналов. Выбранные по правилу медианы отсчеты помечены на рис. 6-4, б точками. Их достоверность гарантирована сверху и снизу отсчетами, полученными по двум другим каналам. Алгоритм .продолжает работать, даже если в момент времени один из каналов «зашкалил», а другой - в момент Бремени 4 - замкнулся.

Метод «выделения остатка». Этот метод оказывается о.дина-коБО полезным как при аналитическом, так и при графическом анализе исходных данных с целью определения вида подходящей для их описания математической модели. Он состоит в том, что рассматриваемзЮ функцию у = f (х) полагают состояш.ей из двух слагаемых: у = (л) + /i (х). Например, для начального участка кривой на рис. 6-1 можно положить у = у» + h (х). Затем выделить /i (х)шак fi (х) == - и вновь положить этот остаток равным /, (х) = (х) *"з (х). Для кривой на рис. 6-1 (х) == ах*. Тогда можно построить остаток /g (х) = у - Уо - ах и найти его форму и т. д. до тех пор, пока не будет найдено описание для последнего из таких остатков.

Погрешность адевсватностм модели. Это погреганость в описании даннйго явления, возникающая вследствие недостаточного соответствия аппроксимирующей функции всем особенностям формы экспериментальной кривой.

Для достим<ения все лучшего и лучшего соответствия модели описываемому явлению обычно приходится усложнять моде-иь. Это приводит к противоречию между компактностью модели и точ:-кость.ю описания экспериментальных данных. Рациональное решение состоит в том, чтобы прекратить ус/южнение модели, когда она еще относительно проста, примирившись с п:>к.емлемой остаточной погрешностью адекватности.

Особое значение нри этохг имеет достоверность и достаточный объем исходных экспериментальных данных, позволяюн1ий .надежно установить степень случайности этих данных. Наиболее расгфостраненной ошибкой начинающих исследователей являются попытки детерминированного описания, т, е. включение в математическую модель тех наблюдавшихся особенностей, которые в действительности являются случайными. Ориентиром при решении этого сложного вопроса можно считать примерное ргвенство остаточной погрешности адекватности принятой модели и ширины полосы ее неопределенности (см. § 6-8) вследствие случайного разброса исходных данных.

Более простьш ориентиром дая прекращения дальнейшего уточнения модели следуег считать условие, что «принимаемая модель не противоречит данному полю экспериментальных данных». Эта форму.пировка «ке противоречит» являсггся наиболее правильной при таких заключениях, и поэтому именно ею необходимо пользоваться во всех подобных случаях.

6-3. ПОДБОР

АППРОКСИМИРУЮЩИХ ФУНКЩЙ

После ТОГО как каким-либо из описанных выше методов установлен графический вид искомой функциональной зависимости, задача состоит в выборе ее аналитического описания, т. е. в подборе аппроксимирующей функции. Для этого полезно иметь перед собой каталог графиков различных функций. Подборка графиков функций приводится в справочниках по математике. Поэтому ограничимся обсуждением лишь трех самых употребительных классов элементарных функций! степенных, показательных и дробно-рациональных.

Графики простейших степенных функций приведены на рис. 6-5. Если линия на графике не имеет кривизны, то это прямая у = ах, если кривизна имеет постоянный знак вдоль всей кривой, то это парабола четной степени у = ал:*, симметричная относительно оси у, или у = ±аУх, симметричная относительно оси X. Для нечетных функций {у = ах или у = aYx) характерна S-образная форма с точкой перегиба в начале координат. По этим простейшим признакам и можно отобрать подходящую функцию.

Естественно, кривая может быть сдвинута от начала координат или повернута, например, так, как это показано на рис. б-б, с и б. В этом случае надо так преобразовать переменные х я у, чтобы начало системы координат переместилось в вершину кривой, т. е. в точку Xq, jo- Для нахождения вершины кривой можно использовать простейший графический прием, показанный на рис. 6-6, б. Кривая пересекается несколькими параллельными прямыми, находятся центры отрезков АВ, cd, ef и т. д. и на продолжении траектории

перемещения этих центров ijiy

находится вершина кри-

Для проверки того, является ли данная функция именно степенной функцией вида у = ах\ следует прологарифмировать ее вместе с аргументом, что возможно сделать лишь после выделения членов вида г/р и й (ж - х). Получаемое после логарифмирования уравнение *g У f=\ga -\- n\gx есть уравнение прямой в координатах Ig , \gx. По-

..Jo----

Рис. 6-6

этому проверка правильности выбора такой модели состоит в логарифмировании экспериментальных значений х и у к построении графика в осях Ig, х и Igy (рис. 6-6, в). Если поле экспериментальных точек на этом графике удовлетворительно группируется относительно прямой линии, т. е. модель в виде прямой не противоречит данному полю точек, то выбор данной функции может быть принят окончательно.

Построение графика 6-6, в позволяет кроме проверки годности принятой аппроксимации одновременно найти и входящие в нее парамегры а и п. Для этого на графике достаточно выбрать любые две точки 1 и 2, через которые должна проходить аппроксимирующая кривая, т. е. должны одновременно удовлетворяться два уравнения;

lg&2 = lga-f nlgxz.

Отсюда

Ig *2 - Ig *1

a - y\lx\ или a = yl-

Графики показательных функций вида у ~ != ае" при разных значениях b приведены на рис. 6-7, а. Их характерной особенностью является постоянный знак кривизны как при b > О, так и при b -< 0. Для проверки соответствия показательной функции экспериментальным данным удобно построение графиков в полулогарифмическом масштабе, так как в координатах Ig у, X они образуют пучок прямых (рис. 6-7, б).