Рис. 6-2

Быстрые методы установления графического вида однофак-торных зависимостей. Основной помехой для установления вида исследуемой зависимости является случайный разброс экспериментальных данных.

Если случайный разброс координат х к у почти отсутствует или, как иногда говорят, диффузность исходных данных очень мала, то привлечение статистических методов для их обработки излишне и кривую можно просто провести через эти точки. Однако даже в этом случае не следует соединять нанесенные на график экспериментальные точки отрезками прямых линий, а провести через них плавную кривую. При проведении такой кривой (рис. 6-2, с) может оказаться, что одна или две точки все-таки не лежат на этой кривой и их следует рассматривать как возможные выбросы или промахи.

Если диффузность исходных данных значительна, т. е. вследствие случайного разброса отсчетов хну точки на графике имеют существенный случайный разброс, то соединение их между собой отрезками прямых линий (рис. 6-2, б) просто бессмысленно и для обработки таких данных надо применять простейшие или более сложные статистические методы.

Одним из таких простейших экспресс-мегодов статистической обработки является метод обведения контура плавных границ полосы рассеяния экспериментальных точек. Если при этом для сохранения плавности этих границ какие-то из точек приходится оставить вне контура (рис. 6-2, в), то их следует рассматривать как возможные промахи или аномально большие случайные отклонения. Форма обведенной контуром полосы рассеяния экспериментальных точек чаще всего уже позволяет вынести суждение о характере функциональной зависимости = f (х). Для однозначного указания вида этой зависимости необходимо провести на глаз осевую линию этого контура.

Несмотря на исключительную простоту метода контура, он позволяет быстро указать желаемое положение и форму искомой кривой и провести ее не через какие-то отдельные точки, а сообразуясь с положением на графике всех экспериментальных точек в целом. Однако при большом рассеянии результатов эксперимента форма контура может иметь бессмысленные, случайные очертания. В этих условиях приходится ограничиваться установлением лишь уровня и наклона искомой вависимости, полагая

Рис. 6-3

ее прямой линией (рис. 6-2, г), проходящей по центру обведенной контуром полосы точек.

При очень большой диффузности экспериментальных данных, когда использование метода контура не, дает ответа, может оказаться полезным метод медианных центров. Сущность этого метода поясняет рис. 6-3, а. Обведенное контуром поле точек делят на несколько частей, и в каждой из них находят медианный центр, т. е. пересечение вертикали и горизонтали слева и справа, и выше и ниже которых оказывается равное число точек. Затем через эти медианные центры проводят плавнздо кривую. Так как общее число отсчетов, как правило, не очень велико, то не следует стремиться к разделению поля точек на излишне большое число областей. Так, например, если поле точек на рис. 6-2, г решено описать прямой линией, для определения положения которой достаточно двух медианных центров, то и поле точек нужно разделить только на две равноценные области. Положение и форма кривых на рис. 6-3, аиб определяется соответственно тремя и пятью точками. Поэтому и поля точек должны быть разбиты не более чем на три и пять областей.

Быстрая оценка коэффициента корреляции и погрешности исходных данных также может быть произведена методом медианных центров. Для этого обведенное прямоугольным контуром поле исходных данных (рис. 6-3, в) вначале разбивается вертикальной границей на две равные по числу точек области, в каждой из которых находятся медианные центры, отмеченные на рисунке крестиками. Через них проводится прямая 1, являющаяся линией регрессии у по х.

Затем поле точек разбивается горизонтальной границей на две части с равным числом точек, и в каждой из них также находятся медианные центры, помеченные на рисунке незалитыми точками. Через эти центры проводится прямая 2, являющаяся линией регрессии х по у. (Эти понятия рассматриваются в пояснении рис. 6-10.)

Прямые 1 и 2 совпадают между собой и с прямой 3 лишь при коэффициенте корреляции между х и I/ Рэд = 1, когда все экспериментальные точки лежат строго на прямой 3, т. е. погрешность разброса исходных данных «у == 0. При «у О и р 1 прямая 1

а) x(t)

г гл 1 I

Рис. 6-4

идет положе прямой 3 на величину коэффициента корреляции р, а прямая 2 - во столько же раз круче. Поэтому если прямая I имеег уравнение у = aj + Ъх, а прямая 2 - уравнение у =>

Й2 + Кх, то всегда > и р = Vbjb, а относительная (приведенная к диапазону изменения у) погрешность исходных данных, как было отмечено в § 3-1, будет у = У{1 - р2)/4.

Так как для расчета p-j, нужны не сами вначения угловых коэффициентов и Ь, а лишь их отношение, то для расчета можно использовать просто отношение ординат и Ь, отмеченных на рис. 6-3, в. У прямой 7 = 9, а у прямой 2 = 25, отсюда коэффициент корреляции поля точек на рис. 6-3, в =з != У9/25 = 0,6, а разброс исходных данных характеризуется погрешностью у = 1/(1 - 0,6)/4 = 0,4 =; 40%.

Вряд ли возможно указать другой, более быстрый способ оценки этих параметров.

Влияние промахов, присутствующих в экспериментальных данных, также полностью определяется свойствами оценок центра распределения, положенных в основу используемых экспресс-методов. Так, оценка центра распределения в виде центра размаха исключительно чувствительна к наличию промахов. Поэтому при использовании метода контура промахи должны исключаться из исходных данных предварительно, как это и было сделано на рис. 6-2, в. Оценка же центра в виде медианы нечувствительна к промахам. Поэтому при использовании метода медианных центров удаления промахов производить не требуется.

Медианные методы хотя и не являются аналитическими, но легко алгоритмизуются и могут широко использоваться при машинной обработке данных. Для иллюстрации этого ограничимся двумя примерами.

Для устранения промахов в последовательно поступающих во времени данных с задержкой передачи всего на один отсчет очень эффективен метод использования медианы трех соседних отсчетов. При монотонно изменяющихся отсчетах (группа 1 на рис. 6-4, а) передается отсчет, занявший в группе медианное положение, т. е. средний по времени, а в группе с выбросом

Йуппа 2) он заменяется последующим или предыдущим отсчетом, горитал не срабатывает только при двух выбросах, следующих подряд.