Это свойство различных случайных величин на практике проявляется в следующем. При малой выборке исходных данных линейчатая диаграмма распределения (см. рис. 5-Б) или его гистограмма при достаточно большом числе столбцов (см. рис. 5-2, а) оказываются сильно изрезанными, т. е. имеют много беспорядочно расположенных «пустых мест», не заполненных отсчетами. Иногда при увеличении объема выборки, скажем, с п == БО до п = 200, эти провалы быстро и дружно заполняютх;я, гистограмма получает достаточно плавный вид и без принудительного сглаживания и симметрирования. Но часто случайная величина имеет не такой «мягкий характер», а проявляет исключительное «упрямство», состоящее в том, что все последующие отсчеты (даже при увеличении выборки до 1000 или нескольких тысяч) ложатся точно на предыдущие. В итоге число отдельных линий линейчатой диаграммы остается тем же. Все новые отсчеты лишь добавляются в уже имеющиеся линии, а провалы между ними так и остаются незаполненными. Увеличение объема выборки хоть до 10 ООО ничего не меняет, распределение остается таким же «гребенчатым», каким оно было при п = БО.

Ясно, что в этом случае распределение отсчетов не является непрерыврым, и к ним неприменимы понятия и формулы теории вероятностей, правомерные лишь для непрерывно распределенных отсчетов. В этих условиях неприменимы и формулы (Б-24) и (5-2Б) для оценки погрешностей определения оценок, так как вычисленные по ним оценки погрешности (при ft = 10 ООО) будут лишь создавать иллюзию полного благополучия, тогда как в действительности положение может быть катастрофическим.

Это особенно характерно для измерительных каналов сложных ИВК, в которых в цепи многих преобразований может быть несколько квантующих устройств, а результат выдается с большим числом знаков.

Так, например, при одном из летных испытаний авиадвигателя ИВК выдавал на регистрацию частоту вращения роторов двигателя с шестью десятичными знаками. Испытатели были уверены, что частота вращения, измеряемая цифровьш частотомером с погрешностью 10"*, регистрируется идеально. Но при анализе 10 ООО отсчетов оказалось, что 1000 из них имеют отклонение от номинала, равное-200-Ш"*, 5000 отсчетов - отклонение-100 X X 10"*, а остальные 4000 - отклонение +200-10", т. е. гистограмма состоит всего из трех (!) линий и, несмотря на то, что я = 10 ООО, никаких заключений о виде закона распределения сделать было нельзя, а погрешность измерений составляла отнюдь не 10"*, а всего ±2-10"*.

F л А в А ШЕСТА Я

(МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ И ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ ОДНОФАКТОРНОМ ЭКСПЕРИМЕНТЕ

Ь-Ь ЦЕЛЬ и ОСОБЕННОСТИ ЭКСПЕРИМЕНТА

ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСШЮСТИ

На практике сама необходимость измерений большинства величин вызывается менно тем, что они не остаются постоянными, а изменяются в функции от изменения других в&цичин. В этом случае целью измерения является установление вида функциональной зависимости у --f(x). Для этого должны одновременно определяться как значения х, так и соответствуюш;ие км значения у, а задачей эксперимента является, как принято теперь говорить, установление лштематичгской модели исследуемой зависимости.

Определение математической модели включает в себя указание вида модели и определение значений ее параметров (коэффициентов, показатачей степени и т. д.). Искомая функция может быть как функцией одной независимой переменной, так и функцией многих переменных. В современной теории эксперимента независимые переменные принято называть факторами,. а зависимую переменную у - откликом (ГОСТ 24026-80). дЗ соответствии с ЭТ1Ш стандартом эксперимент по определению функции вида у = f {х) принято именовать однофакторным, а эксперимент по определению функций вида = f {х, ...,%) - многофактор-ным: В дальнейаюм будем использовать терминологию ГОСТ 24026-80, а не ГОСТ 16263-70, подразделяющего такие измерения на соеместш1.е и совокупные. Вопросы, относящиеся к однофакторному эксперименту, будут рассмотрены в данной главе, а обработке и оценке погрешностей многофакторного эксперимента будет посвящена гл. 7.

Искомая математическая модель функциональной зависимости Р ~f{x) может быть найдена лишь в результате слвместной обработки всех полученных значений х к у. На рис. 6-1 это кривая, проходящая по центру полосы экспериментальных точек, которые могут и не лежать на искомой кривой О =f {х), а занимают некоторую полосу вокруг нее. Эти отклонения вызваны погрипно-стями измерений, неполнотой модели н учитываемых факторов, случайным характером самих исследуемых процессов и другетли причинами. Разделить погрешности вызванные неточностью Рис. 6-1

измерения х и неточностью измерения у, невозможно, так как смещение точки на рис. 6-1, например, выше кривой могло быть вызвано как положительной погрешностью при измерении у, так и отрицательной погрешностью при измерении х. Поэтому описанием погрешности исходных данных может бьггь лиаш указание ширины полосы их разброса вокруг найденной кривой зависимости = f {х). При этом полоса разброса экспериментальных данных необязательно будет иметь постоянную ширину по всей своей длине. Она может быть узкой вначале и расширяться в конце или, например, иметь узкий перешеек Б средней части и расширяться по концам и т. п. Поэтому форма полосы погрешностей должна анализироваться в каждом отдельном случае.

6-2. ВЫБОР ВИДА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ И ОСТАТОЧНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ АДЕКВАТНОСТИ

Задача выбора вида функциональной зависимости - задача н е ф о р м а л и 3 у е м а я, так как одна и та же кривая на данном участке примерно с одинаковой точностью может быть описана самыми различными аналитическими выражениями. Так, например U-образная кривая может быть описана участком параболы, гиперболы, эллипса или синусоиды. Рациональный выбор того или иного аналитического описания может быть обоснован лишь при учете определенного перечня требований.

Главное требование к математической модели - это удобство ее последующего использования. Основное, что обеспечивает удобство математического выражения, - его компактность. Например, известно, что любую функцию у =f(x) можно описать многочленом у = а -\- ах -\- ах + ... -f ах. Но если же оказывается возможньил с приемлемой точностью описать ее одночленом вида = а 1п {х}Ъ), у = ае>"=, у = с sin и т. п., то ясно, что такое компактное представление много лучаге. Таким образом, компактность модели достигается удачным выбором элементарных функций, обеспечивающих хорошее приближение при малом их числе.

Другое весьма желательное (но иногда трудно достижимое) требование - это содержательность, иначе говоря, интерпретируемость предлагаемого аналитического описания. Как правило, это достигается птем придания определенного смысла константам или функциям, входящим в найденную математическую модель.

Отсюда следует важный практический вывод. Даже в наш век широкого использования ЭВМ в научных исследованиях принятие реаюния о выборе той или иной математической модели остается за человеком-исследователем и не может бьггь передано ЭВМ. Только человек, а не ЭВМ, знает, для чего будет в дальнейшем использоваться эта модель, на основе каких понятий будут интерпретированы ее параметры и т. д.