и, наоборот, распределения, находящиеся в этих границах, н е противоречат исследуемой выборке.

Этот метод приближенной идентификации формы распределений погрешностей был использован в работах, упоминавшихся в § б-1, а именно в работе [8] для идентификации формы более 100 распределений погрешностей ИИС и в работе [3 ] для идентификации распределений погрешностей более 200 приборов для измерения различных электрических и неэлектрических величин. В результате этих и других работ выяснилось, что формы распределений погрешностей достаточно разнообразны и соответствующие им точки располагаются в пределах области, ограниченной штриховым овалом (рис. 6-11), охватывающей нормальное, уплощенные, равномерное и двухмодальные распределения.

Для распределений, точки которых в координатах рис. 5-11 попадают в область линии 4-10, оказывается возможным одновременно использовать целый ряд равноправных моделей в виде трапеций, в виде композиций класса шапо или в виде р {х) ==! = ЛеН*1", где а = 2-fc». Выбор одного из этих трех видов аналитического описания должен производиться исходя из практического удобства дальнейшего использования получаемых выражений (см. §*5-4).

Основным недостатком, обусловливающим приближенность описанной систематизации и классификации распределений по их форме, является ее неоднозначность. Параметры кик данного аналитического распределения определяются однозначно. Так, например, если распределение описывается симметричной трапецией с отношением оснований 2:3 (п. 2 табл. 2-2), то ее параметры однозначно равны: к = 0,728 и = 1,83. Однако обратный переход уже неоднозначен. Экспериментальное распределение с к = 0,728 и = 1,83 совсем необязательно будет трапецеидальным. Через точку топографической классификации (рис. 5-11) с этими координатами проходит целый пучок кривых, соответствующих и трапециям, и уплощенным экспоненциальным распределениям, и композициям класса шапо, и даже линия 12-13, соответствующая двухмодальньм арксинусоидальным распределениям. Подобная же неоднозначность обратного перехода характерна и для линии класса экспоненциальных распределений (в области точек 5-6-7-8-9-4 на рис. 5-11), которая пересекается линиями, соответствующими островершинным двухмодальньм распределениям.

5-8. МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ФОРМЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ, ПРИГОДНЫЙ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ НА ЭВМ БЕЗ УЧАСТИЯ ОПЕРАТОРА

Описанные в предыдущем параграфе операции, необходимые для идентификации формы распределений, могут быть переданы ЭВМ, если вместо графического представления кривых (рис. 5-11)

иметь их аналитическое описание. Для этого необходимо найти аналитические формулы перехода, например, при определении параметров двухмодальных распределений, от двух параметров {к и и), заданных в сетке прямоугольных координат, к двум параметрам (С и а) формы двухмодального распределения, заданных в сложной сетке криволинейных координат (рис. 6-11).

Такая методика приближенной машинной идентификации формы распределений была разработана авторами совместно с инженерами Т. Ф. Шевчук, В. В. Орловской, О. К. Фирсовой и Н. А. Масленниковой и состоит в следующем. Прежде всего производится проверка того, не близко ли исследуемое распределение к чисто экспоненциальным, т. е. не располагается ли отображающая его точка на рис. 6-11 вблизи линии экспоненциальных распределений 2-5-6-7-8-9-4. Эта линия на участке от точки 7 до точки 4 с погрешностью менее 5% может быть представлена аппроксимирующим выражением

к = Упф - 5,2 (1 /1/3 - к) (5-23)

а на участке от точки 4 до точки 10 с погрешностью ±0,5% выражением

к = Уйф - 69,4 (и - 1/1/3)

Распределение признается принадлежащим к классу экспоненциальных, если отклонение отображающей точки от кривой (5-23) не превосходит разброса оценок к я %, определяемого малостью выборки. Согласно выражениям (4-9) и (4-10)

Ло.9 (к) = 1,6а (к) = 1,6к У{г -\)ЧУШ\ (5-24)

Ао,9 (ft) = 1,6 / ft "jAftnl/i?. (Б-25)

По формуле (6-23) вычисляются значения ftmax и ftmm путем подстановки вместо и значений и + Ак и х - Аи, где и - оценка, полученная по выборке, и распределение признается экспоненциальным, если найденная по выборке оценка удовлетворяет условию

(ftmm - Aft)<ft<{Ка + Aft). (5-26)

Для класса экспоненциальных распределений зависимость эксцесса от показателя экспоненты а теоретически выражается (см. с. 67) соотношением е = Г (1/а) Г (5/а)/[Г (3/a)] гдеГ (•) - гамма-функция. Обратного решения этого трансцендентного уравнения относительно а в элементарных функциях не существует. Оно может быть представлено лишь тем или иным аппроксимирующим выражением. Для этой цели авторами этой книги в 197Б г. была предложена приближенная формула

а « (1,355 - и)/1п [5/(9и) ], (5-27)

где к i/ys, которая при е й= 1,8 - 5/9 для равномерного распределений дает а = оо. При изменении е от 3 до 100, т. е. для а от 2 до 1/3, она описывает искомую зависимость с погрешностью не более 1,3%, для а = 1/4 и в = 458 - с погрешностью 2,3%, а для а =5 4 и е = 2,188 - с погрешностью 15%.

В 1985 F. И. В. Джукь (в статье в журнале «Кинематика и физика небесных тел», 1985, т. 1, № 4, с. 65) предложил более точное аппроксимирующее соотношение

а 1,4555/[In (е - 2/9) - 0,29391,

которое в диапазоне изменения ё от 3 до 458 (а от 2 до 0,25) обеспечивает погрешность аппроксимации не более 0,45% и лишь при а = 4 дает погрешность до 5%, при а =7 - до 20% и прн а = 20 -- до 60%.

Однако при 8 = 1,8 для равномерного распределения эта формула BivsecTo а - оо дает а == 9. Такое распределение (см. рис. 2-7, г) значительно отличается от равномерного. Но если в эту формулу ввести еще один уточняющий член (-10,7/е), то такая формула

а = 1,46/ [In (в -- 2/9 - Ш,7/е) - 0,2891 (5-27а)

обеспечивает в диапазоне а от 4 до 0,25 (в ог 2,188 до 458) погрешность не более ±:0,3%, для а = 5-т-7 - около 1%, для а =s = 10-1-20 (е = 1,824-1,884) - до ±6%, а при в = 1,8 вместо а - оо дает значение степени экспоненты а = 29. Экспоненциальное распределение такой степени уже мало отличается от равномерного (по значению эксцесса на 2,2% и по значению энтропийного коэффициента 1,3%). Поэтому полученная формула может найти широкое практическое применение.

Границы «шш и «шах интервала неопределенности показателя степени а определяются по приведенным формулам путем подстановки в них в качестве значения в npeAejioB интервала его неопределенности в виде е - Ае и е + Ав, где относительная погрешность значений эксцесса Ае/е == 2Ак/я;, а Ам находится по формуле (5-24). Если условие (Б-26) не выполняется, то распределение признается или двухмодальным, если k < 1,87, или уплош.екньш, если k > 1,87.

При й> 1,87 и признании распределения уплощенным оно рассматривается как композиция равномерного распределения со с. к. о. Оравн и экспоненциального распределения с Одксп- Относительное содержание той и другой составляющих численно определяется показателем содержания равномерной составляющей Ср = Оравн/<энси» изхухеняющимся ОТ О ДО Б, так как при Ср [> о отображающая точка на рис. 5-11, приближаясь к точке 10, опускается ниже границы k - 1,87, где кривые, соединяющие на рис. 5-11 точки 5-10, 6-tO, 9-10 и 4-10, сливаются между собой. В области ft г> 1,87 значение Ср может быть определено по соотношению, аппроксимирующему зависимость Ср =