иййного значения погрешности) не нуждается в предварительном определении координаты центра распределения. Поэтому если ошибка в определении координаты центра влечет за глбой с}?ще-ственный сдвиг оценок с. к. о., эксцесса и контрэксцесса, то оценка энтропийного значений погрешности свободна от этой зависимости. В этом состоит одно из ее основных достоинств, но она в отличие от с. к. о. не может быть найдена без группирования членов вариационного ряда по соответствующим интервалам.

Однако после построения симметрированной гистограммы настолько резко упрощается расчет с. к. о., энтропийного коэффициента и эксцесса, что к построению симметрированной гисго-грамьш Часто прибегают только для облегчения таких расчетов.

Действительно, при расчете с. к. о. нужно найти сумму 2 КН -

К-, при расчете эксцесса, кроме того, - суьшу 2j (xj - *- Хд), а для расчета энтропийного значения погрешности: и

энтропийного коэ4)фициента - сумму 23 Щ ig Щ- При центрированной гистограмме, середина центрального столбца которой совмещена с центром распределения, т. е. = О, все расчеты

существенно упрощаются. В этом случае 2 - Хц) 2 Х\щ\

51 (xi - Хц)* = 51 Xfftj, где Xj - координаты центров столбцов гистограммы; tij - число отсчетов, попадающих в /-й столбец; т - число столбцов. Вместо возведения в квадрат или в четвертую степень п разностей при симметричной гистограмме с т = 2fe + 1 столбцами возводить в квадрат или четвертую степень нужно всего k чисел. Таким образом, расчет всех необходимых оценок становится предельно простым и выполнять его удобно путем заполнения таблицы.

Для иллюстраций сказанного проведем расчет перечисленных выше оценок для трех распределений, гистограммы, которых были нредставдены на рис. 5-2, з, 5-6 и 5-7. В табл. 5-7 приведены

данные распределения в соответствии с гистограммой рис. 5-2, в, причем центральный столбец гистограммы представлен верхней строкой таблицы. В каждой строке производится вычисление величин tlj Ig Я/, Х]щ, Х)щ и затем определяются суммы каждого из столбцов таблицы. При вычислении этих сумм необходимо только не забывать, что центральный столбец гистограммы (верхняя строка таблицы.) - один, а остальных симметричных столбцов гистограммы. - по два, поэтому при суммировании соответствующие им числа должны удваиваться. Для этого запись чисел в столбцах таблицы щ и щ Ig щ удобно вести так, как это сделано в табл. 5-7 (Я1 = 16, П2 =2x14, Яз = 2 X 4 и т. д.). По полученным в ней суммам находим для гистограммы рис. 5-2, в

а = X]nsl{n - 1) = 1/3840/51 = 8,68;

8-52 2-8,68

10-56.174/52 jQQ.

E = Ц4/0Г* = 2 Xjtii/ina) = 6389.76/(52-8,68*) = 2,17;

и = 1/1/1= UyjJJ = 0,68.

Таким образом, расчет оценок а, k, е ик по симметрированной гистограмме занимает всего несколько строк.

В табл. 5-8 и 5-9 приведен аналогичный расчет сумм, необходимых для определения оценок распределений, представленных

Таблица 5-9

гистограммами на рис. 5-6 и 5-7. Р1спользуя суммы табл. 5-8, получаем для гистограммы на рис. 5-7

а- = 15760/37 =. 12,5; kj, = w == 1,99;

yYxftjIn = 0,63 и 8j = 2,52.

Используя суммы табл. 5-9, получаем для гистограммы ка рис. 5-6

Оа = Vm2JW = 12,2;

19/245 = 0,60 и Ба = 2,77.

Поправки на группирование и малый объея выборки. Наряду с резким упрощением вычисления оценок ширины и формы распределения с использованием симметрированных гистограмм эти оценки имеют систематические погрешности, которые могут быть устранены введением соответствующих поправок. Поправка для устранения влияния описанного в конце § 5-4 «смещения площадей вниз по склону» при столбцах гистограммы шириной d на оценку с. к. о. носит название поправки Шеппарда на группирование. Она заключается в том, что исправленное значение с. к. о. О для одномодальных распределений находится как

a = 5-/i::-j(4)\ (5-20)

а для арксинусовдалького распределения эта поправка имеет обратный знак: о = о / i где о-оценка с, к. о-,

найденная без поправки на группирование. Оценка четвертого момента .i одномодальных распределений с поправкой на группирование выражается через неисправленное значение jx, оценку с? и значение d:

для равномерного распределения р>4 = Дя -f cV - 7fl*/240 и

для арксинусойдального распределения u4,=iii+o (d - ---l/W..

Оценка четвертого момента испытывает смещение также и в зависимости от объема выборки п. Для введения этой погфавкн обычно рекомещ);уется формула

р,п (п - 2>г -I- 3) -- оЗв (2» - S) Р*"- 2) (п-3)