показатель степени для полигона на рис. 5-6 а = 0,248/0,301 = = 0,82, а для полигона на рис. 5-7 а == 0,329/0,301 = 1,09. При округлении значений показателя степени в выражении плотности распределения (5-14) полезно иметь в виду, что интеграл от этой функции аналитически выражается только для а, равного 1, 1/2, 1/3, 1/4- Поэтому эти значения являются предпочтительными. Для а, равного 1,5, 2 или 3 и т. д., решения могут быть получены только численно (необходимо вычислять специальные таблицы интегральной функции, как это и делается для нормального распределения с а = 2). Вследствие этого, хотя различие в форме полигонов, представленных на рис. 5-6 (а = 0,82) и на рис. 5-7 (а = 1,09), является заметным, для их описания целесообразно (ради упрощения дальнейшего использования искомого аналитического описания) принять а = I.

Относительно используемого в расчете значения гашах, являющегося эквивалентом р (х)у= А, следует заметить, что для плосковершинных распределений (рис. 5-2, в) в качестве rij может быть взята просто высота центрального столбца гистограммы. Однако для островершинных распределений и нормального распределения в качестве nmax должна приниматься ордината круглой или острой вершины, найденная графически (рис. 5-6 и 5-7).

После того как найдены значения А и а, остается определить из выражений (5-15) значение Х:

in 1п ) --= -х- или - In J х/Хо;

1/а •

Для кривой рис. 5-2, пользуясь данными табл. 5-3, получаем Хв = 8/(-In 0,875)/з 15, а для кривой рис. 5-6 по данным табл. 5-4 (для а = 1) получаем Хо - 12/(-In 0,3333) да 11. Отсюда выражения, аппроксимирующие кривые для рис. 5-2, есть п (х) = 16е-> и для рис. 5-6, - п (х) = 2к-1«/"1. Эти кривые и были нанесены на рис. 5-2 и 5-6.

Аппроксимация двухмодальных и уплощенных распределений класса шапо может быть выполнена только после разложения таких распределений на составляющие, что может быть выполнено графически следующим путем. Если полигон распределения получился двухмодальным, то его мысленно представляют как сумму двух экспоненциальных полураспределений 1 я 2 (штриховые кривые на рис. 5-8, а), сдвинзтых от центра соответственно на +а и -а, где а - полуразмах дискретного двузначного распределения. При этом, однако, возникает следующее практическое ограничение. Для установления вида выделенной составляющей ее гистограмма должна бьггь представлена не менее чем пятью столб-

Рис. 5-8

цами, для чего исходное распределение должно состоять не менее чем из семи-девяти столбцов. Согласно соотношениям (5-13) для этого необходим объем выборки исходных данных п = 200-ь -f-1000 отсчетов. Таким образом, установление формы подобных сложных распределений требует существенно большего объема исходных данных, чем для простейших экспоненциальных распределений.

Если полигон распределения получается уплощенным (типа шапо), как это показано сплошной линией на рис. 5-8, б, то распределение такого вида следует попытаться разложить на равномерную и экспоненциальную составляющие. Равномерная составляющая, показанная на рис. 5-8, б штриховой линией, определяется довольно просто, так как в предположении симдетрии экспоненциальной составляющей она должна пересекать кривую исходного распределения в точках, где р (%) = Затем

каждая половина кривой исходного распределения рассматривается как интегральная кривая экспоненциальной составляющей и путем графического дифференцирования (условно показанного на правом склоне кривой рис. 5-8, б) находятся ординаты кривой плотности (рис. 5-8, в). Если же выделенное экспоненциальное распределение оказывается резко несимметричным, т. е. верхняя и нижняя половины интегральной кривой этого распределе::ия не являются двойным зеркальным отражением друг друга, исходное распределение не относится к классу шапо и его следует попробовать аппроксимировать экспоненциальным распределением

Рис. 5-9

С а >• 2. Для получения гистограммы экспоненциальной составляющей, состоящей хотя бы из пяти столбцов, исходное распределение должно состоять не менее чем из 9-1! столбцов, т. е. для достоверного установления формы таких композиций нужно п = 500-т-3000 отсчетов.

Использование моделей в виде смеси распределений и ограниченных распределений. При анализе формы распределений следует иметь в виду, что далеко не все двухмодальные и уплощенные распределения могут быть разложены на экспоненциальную и дискретную или равномерную составляющие. Признаком возможности такого разложения является симметрия левого и правого спадов каждой из вершин двухмодального распределения или зеркальная симметрия верхней и нижней половин спада распределений типа шапо. А, например, арксинусоидальное распределение не может быть разложено на дискретную двухзначную и какую-либо еще составляющие, так как крутизна спадов его вершин резко несимметрична.

Некоторые из сложных несимметричных распределений могут быть представлены как смеси в каких-либо долях известных распределений с различными значениями координат центра. В качестве примеров таких моделей несимметричных распределений на рис. 5-9, а показана смесь экспоненциального распределения с небольшой долей нормального, а на рис. 5-9, б - смесь равномерно и нормально распределенных отсчетов.

Подобные распределения результатов измерений чаще всего являются сигналом о неисправности средств измерений или нарушении запланированной методики измерений. Поэтому обнаружение таких распределений является очень важным для практики экспериментальных исследований.

Распределения, круто обрывающиеся по краям, возникают