мум интегральной кривой равен 2л = 76) 3-8-16-8-3. По этим значениям щ и строится симметричная гистограмма рис. 5-7, б.

Построение полигона, который более наглядно, чем гистограмма, отражает форму распределения, производится путем соединения прямыми середин верхних оснований каждого столбца гистограммы. За пределами гистограммы, как слева, так и справа следуют пустые интервалы, в которых точки, соответствующие их серединам, лежат на оси абсцисс. Все эти точки при построении полигона и соединяются между собой отрезками прямых линий, образуя совместно с осью х замкнутую фигуру, площадь которой в соответствии с правилом нормирования должна быть равна единице. В этой связи необходимо заметить, что во многих пособиях по теории вероятностей полигон распределения изображают в виде ломаной линии с незамкнутыми на ось х концами, что принципиально ошибочно.

При замене кривой плотности в виде гистограммы кривой в виде полигона правило нормирования выполняется автоматически, так как от каждого большого столбца гистограммы (см. рис. 5-7, б) отсекается и отбрасывается часть площади в виде треугольников, заштрихованных на рис. 5-7, б вертикально, а к каждому меньшему столбцу добавляются такие же площади треугольников, заштрихованных горизонтально. В итоге общая площадь под кривой полигона остается равной площади исходной гистограммы.

Однако это «перемещение площадей» при переходе от гистограммы к полигону происходит всегда в одном направлении, а именно «вниз по склону». В результате этого площадь центрального столбца в полигоне оказывается меньше площади центрального столбца гистограммы, т. е. форма распределения уплощается. Для устранения этого явления (с некоторым нарушением правила нормирования) в соответствии с п. 7 выводов § 5-2 для островершинных распределений следует считать центральный столбец гистограммы состоящим из двух равных столбцов с шириной d/2 и точки середин верхних оснований для построения полигона брать для этих более узких столбцов. В этом случае вершина криюй полигона будет выше верхнего основания центрального столбца, как это показано штриховой линией на рис. 5-7, б, но площадь под кривой полигона в пределах центрального столбца будет равна площади центрального столбца гистограммы. Подобным же образом построен полигон распределения и на рис. 5-6.

5-4. АППРОКСИМАЦИЯ ПОЛИГОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЕЙ

Случайная величина не имеет более полного описания, чем аналитическая кривая плотности распределения. Поэтому идентификация формы распределения сводится к выбору аналитиче-

ской модели, которая не противоречит данной конкретной выборке экспериментальных данных.

Для подбора аппроксимирующей полигон кривой должно быть выдвинуто предположение о виде аппроксимирующей ее функции. В § 2-4 было показано, что более 50% распределений погрешностей относятся к классу экспоненциальных:

р{х) = Аехр{~\х/(ЩГЬ

(5-14)

поэтому прежде всего следует проверить, не описывается ли данное распределение этим соотношением. Такая задача сводится к нахождению параметров А, а и Ко = этого выражения. Коэффициент А при любом Х О просто равен значению функции р (х) при X == 0. Для определения а удобен следующий прием. Логарифмируя (5-14), получаем

In р {х) = 1пА

(5-15)

логарифмируя еще раз, имеем In - In -j) = а In х - а In Хо.

Так как значение масштабного коэффициента Х„ нам еще не известно, то значение а может быть найдено путем решения системы из двух уравнений, составленной для двух известных точек полигона. Для того чтобы аппроксимирующая кривая прошла через, точки полигона р (xj) при ш р (х) при х, необходимо удовлетворить системе уравнений:

= а In 1X, I - СС In Ао; alnlxal - ainXo-

При вычитании этих уравнений друг из друга для определения а получается выражение

- In

Д In

- In

In *j - In *j

Д In *

(5-16)

Так как по экспериментальным данным для каждой пары точек узлов полигона согласно формуле (5-16) будут получаться свои значения а, то рекомендуется нанестк эти точки на график с координатами In {-In [р {х)/А ]} = F (In х) и на нем выбрать те точки, через которые рационально провести аппроксимирующую кривую. Если все точки такого графика лягут приблизительно на одной прямой, то тангенс угла наклона этой прямой и будет равен искомому значению а. Если же точки на этом графике образуют кривую, то должна быть принята другая модель.

Пример определения аппроксимирующих кривых распределений. Распределения, представленные на рис. 5-6 и 5-7, похожи на

экспоненциальные с a 1, a на рис. 5-2, в - на экспоненциальное с а > 2. Определим степени а этих трех распределений. В табл. 5-3 представлен расчет координат для построения указанного выше графика для полигона рис. 5-2, в. Так как а определяется отношением разностей логарифмов, то результат оказывается одинаковым при использовании как натуральных, так и десятичных логарифмов:

Д Ig

0,142 + 0.874 1.204 - 0,903

= 3,3754 3,

т. е. распределение, приведенное на рис. 5-2, е, описывается формулой

р{х) ехр(-1хГ).

В табл. 5-4 и 5-5 приведен аналогичный расчет для полигонов, изображенных на рис. 5-6 и 5-7. Из этих данных следует, что

Таблица 5-4