ляла О.Ткл (О = 0,3укл и to = ОДуил), то при проведении коррекции нуля и чувствительности перед каждым отсчетом систематическая погрешность (9 = 0,3укл) будет устранена почти полностью, но суммарная дисперсия отсчетов удвоится, т. е. 0 возрастет в раз, и при усреднении, например, п = 1000 отсчетов погрешность с доверительной вероятностью Рд = 0,9 составит ухоо =

= 1,6 • К2 - о/у 1000 я# 0,018кл, т. е. будег уменьшена в 0,7/0,018 =

== 40 раз.

Предел возможного уменьшения погрешности при одновременном введении и коррекции систематических погрешностей и статистическом усреднении определяется уже другими, не учитываемыми до сих пор причинами, как-то: погрешностью, используемой при поверках образцовой меры, рассмотренными в § 1-5, 3-5, 3-7 динамическими погрешностями и особенно отсутствием независимости, т. е. наличием хотя бы слабой коррелированности усредняемых погрешностей (см. § 8-8 и 8-9). Все эти причины должны в этом случае внимательно анализироваться (см. в § 8-8 пример такого анализа).

Некоторые выводы. 1. Суммирование случайных и систематических составляющих погрешности при оценке погрешности усредненного результата не только правомерно, но и необходимо.

2. Правила такого суммирования зависят от того, остается ли неисключенный остаток систематических погрешностей постоянным во всех усредняемых отсчетах.

3. Если знак неисключенной систематической погрешности нам неизвестен (см., например, рис. 1-10, в), но известно, что она остается постоянной ю всех усредняемых отсчетах, то ее модуль должен суммироваться с доверительным значением случайной погрешности арифметически. Суммирование ее со случайной погрешностью по правилам суммирования дисперсий неправомерно, хотя подобный некорректный метод суммирования с рекомендацией эвристических формул, существенно занижающих получаемые оценки, и включен в текст ГОСТ 8.207-76.

4. Если неисключенная систематическая погрешность в каждом из усредненных отсчетов принимает случайное значение, то она приобретает все свойства случайной величины и суммирование ее с другими случайными погрешностями должно производиться по правилам, описанным в гл. 3, для суммирования случайных погрешностей.

ГЛАВА ПЯТАЯ

МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ФОРМЫ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

б-ц. ПОТРЕБНОСТЬ В ИДЕНТИФИКАЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Пока было общепризнанным, что погрешности на основании центральной предельной теоремы всегда должны быть распределены нормально, задача определения формы распределения погрешностей, естественно, не ставилась. Однако сомнение во всеобщности нормального распределения существовало давно. Так, еще М. Ф. Маликов в книге [22, с. 97] приводил слова физика Лип-пмана: «Все верят в закон погрешностей, ибо экспериментаторы думают, что этот закон - математическая теорема, а математики считают, что он установлен экспериментальным путем».

Тем не менее заблуждение о правомерности лишь нормального распределения погрешностей продолжает существовать до сих пор. Для подтверждения его бесспорности, например, в [211 (учебное пособие для вузов, 1982 г.) приводится цитата из книги Ю. В. Линника [20]: «Как оказывается, в широком классе несмещенных оценок оценки, найденные яо методу наименьших квадратов, могут быть совместно эффективными, лишь если вектор погрешностей Д нормален. Таким образом, наличие оптимальных свойств у метода наименьших квадратов тесно связано с нормальностью вектора погрешностей». И на основании этого в книге [211 делается вывод, что при распределениях, отличных от нормального, использование методов статистической обработки (среднее арифметическое, метод наименьших квадратов и т. п.) неправомерно.

В § 4-3 мы уже обсуждали значение математического термина «эффективный», что означает «самый -лучший по минимуму дисперсии». В этой связи представляет интерес рассмотреть результаты, приведенные в книге [261, по сравнительной .эффективности метода наименьших квадратов (МНК) и метода наименьших модулей (МНМ). Эти данные сведены в табл. 5-1 и графически предста&лены в виде кривых на рис. 5-1 в функции от значений контрэксцесса и. Из этих кривых видно, что МНК достаточно эффективен для широкого класса распределений (по крайней мере, с « от 0,5 до 0,7), что аналогично обсуждаемому выше применительно к среднему арифметическому (§ 4-3). Поэтому цитата Ю. В. Линника означает лишь то, что для распределений с и <! 0,5 (или с и > 0,645, см. рис. 4-2) могут быть использованы другие методы, которые будут несколько лучше, чем МНК и среднее арифметическое. Но в ней отнюдь не утверждается, что для всех распределений, отличных от

нормального, нельзя использовать МНК или среднее арифметическое (конечно, кроме распределений с % - О, подобных распределениям, приведенным в табл. 3-3). Обоснованное решение подобных задач и требует идентификации формы распределения погрешностей.

Идентификация распределений нужна и потому, что рассеяние всех оценок [а (а), а (и), а (е), о (k) ], как было показано в § 4-4, зависит от формы закона распределения. Для обеспечения одной и той же погрешности в определении оценки при одном законе можно ограничиться достаточно малой выборкой, тогда как при другом - выборка исходных данных должна бьггь значительно больше. Совершенно необходимо знание вида закона распределения при определении одних параметров закона распределения по другим его параметрам. Так, например, квантили, т. е. значения погрешности с заданной доверительной вероятностью, без знания вида закона распределения не могут быть выражены через с. к. о. И, наконец, изменение вида закона распределения погрешностей нередко может служить признаком какого-либо резкого изменения условий проведения измерений. Ркпример, объединение нескольких серий наблюдений, в одной из которых возникла заметная систематическая погрешность, приводит к образованию двухмодаль-ного распределения, в то время как в обычных условиях оно было одномодальное.

Таблица 5-1