Рис. 4-9

значениях измеряемой величины х, за исключением -лишь одной точки в середине диапазона на рис. I-IO, в, когда при малых х она положительна, а при больших - отрицательна.

Поэтому в общем случае положение кривой плотности вероятности погрешности в границах ±Ткп может быть представлено графиком рис. 4-9, где сплошной линией показано положение кривой плотности вероятности погрешности при положительном значении е систематической составляющей, а штриховой кривой - при отрицательном.

Особенности суммирования систематической и случайной составляющих "Погрешности. В книгах по метро-логии нередко утверждается, что складывать между собой случайные и систематические составляющие погрешности «нельзя с принципиальных позиций, так как систематические и случайные погрешности имеют разную природу». Однако это утверждение вряд ли бесспорно хотя бы потому, что разделение погрешности на систематическую и случайную составляющие мы вводим сами для облегчения анализа. Но после проведения такого анализа правомерна постановка и обратной задачи - задачи суммирования этих составляющих.

Исходя из рис. 4-9 наг-лядно виден механизм такого суммирования. Если доверительная граница с вероятностью Рд (равной, например, 0,9) для случайной составляющей определяется как Yq,9 = to, то с учетом систематической составляющей она будет выражаться как Э -f ta. Но при 61 > 0,66а выход погрешности за границы ± ( 61 ta) будет происходить даже для распределения Лапласа практически только с одной стороны, т. е., например, при оценке случайной составляющей с Рд = 0,9 доверительная вероятность выхода результата за гранивд ± ( 61 + ta) будет иметь значение Рд = 0,95.

Таким образом, механизм суммирования систематической и случайной составляющих резко отличается от механизма суммирования случайных погрешностей. Во-первых, систематическая погрешность может суммироваться только с доверительным (или энтропийным) значением погрешности, а отнюдь не со с. к. о., во-вторых, это суммирование происходит арифметически с модулем систематической погрешности (без учета ее знака) и, в-третьих, результирующая погрешность, указываемая как == ( 61 + ta) при I е> 0,6ба, получается с уровнем значимости = (1 - Р„)/2,

где Рд - доверительная вероятность, с которой была определена случайная составляющая погрешности.

Распределение погрешности усредненного результата многократных отсчетов также имеет вид кривой рис. 4-9. При этом систематическая составляющая погрешности 6 остается без изменения, а ширина разброса случайной составляющей погрешности fejei/V уменьшается в ]/"п раз, где п - число усредненных отсчетов. Поэтому если п достаточно велико, то и результирующая погрешность усредненного результата определяется, по существу, только его систематической погрешностью.

В этой связи ГОСТ 8.207-76 устанавливает, что если 9 <

< 0,8af, то следует пренебречь систематической составляющей погрешности и учитывать только случайную погрешность усредненного результата в виде to. Если же 0 > 8о, то. наоборот, следует пренебречь случайной составляющей и усредненный результат характеризовать лишь его систематической погрешностью 6. «Магические числа» 8 и 0,8 в тексте ГОСТ 8.207-76 никак не обосновьшаются и не поясняются. Однако автора стандарта [371 можно понять, если учесть, что Vo.* = 1,605, отсюда следует, что условие в < Ofioy эквивалентно условию 0 < Vo.gx/- условие 6 >Saj эквивалентноусловию 0 >5у, т. е. стандарт разрешает пренебрегать систематической погрешностью усредненного результата и учитывать лишь его случайную погрешность ia- ==

= tOxi/Yfi только тогда, когда она больше удвоенного значения систематической составляющей. И, наоборот, когда случайная со-став-ляющая путем усреднения уменьшена до значения -<

< 0/5, т. е. становится в 5 раз меньше систематической, то стандарт разрешает ею пренебречь и указывать только систематическую погрешность.

Ограниченность возможности повышения точности путем усреднения. Рассмотренные ограничения являются очень серьезными, так как наличие неиск-люченной систематической погрешности делает практически бессмысленным использование статистического усреднения.

Рассмотрим эти соотношения на конкретном примере. Описанное выше (§ 1-6) исследование погрешностей нескольких тысяч электроизмерительных приборов на ЛПЭО «Электросила» показало, что погрешность новых или только что отремонтированных приборов, когда их систематические погрешности путем тщательной регулировки сведены к минимуму, составляет не менее 0,47„л. Эту погрешность можно приближенно считать равной его случайной погрешности, т. е. считать 0,47„л = Ьбог, которая во время эксп-луатации остается неизменной.

По мере старения прибора систематическая составляющая 6 погрешности прибора возрастает и при достижении 0 = О.букл, т. е. е -f l,6axt =0,4Укл +0,6rf = Ткл. прибор бракуется при

очередной новерке и ианравляется в ремонт. Таким обра.9ом, систематические погрешности всего парка находящихся в эксплуатации приборов всегда находятся в пределах от 9 = О до 0 = = О.&Укл и в среднем для парка составляют примерно 0,37„л.

Каковы же в среднем в этих условиях возможности повышения точности результатов измерений путем статистического усреднения многократных отсчетов?

Ясно, что при 26 = 0,6v„„ и Yo,9 = ОДТкл условие 20 < о.в не выполняется даже при однократных измерениях, не говоря уже о многократных, и пренебречь систематической составляющей погрешности нельзя при любом числе усредняемых отсчетов.

Условие Уд g-jf = G/5 достигается при у g/V" = /5, т. е.

при 0,4т„л/У 0,Зу„л/5 или п = {5- 0.4)6.3* 45, т. е. при усреднении 45 отсчетов случайная погрешность усредненного результата у д- становится равнЬй 6/5 и в соответствии с рекомендацией ГОСТ 8.207-76-ею можно пренебречь, а погрешность усредненного результата оценивать значением систематической погрешности приборов, равной в среднем 0 - 0,37кл- Поэтому дальнейшее увеличение числа усредняемых отсчетов (п > 45) и дополнительная трата времени становятся бессмысленными.

Таким образом, рассмотрение фактически существующего в среднем соотношения между случайной {уо,вх1 = 0,4) и систематической (6 - 0,37кл) составляющими погрешности электроизмерительных приборов показывает, что путем статистического усреднения погрешность результата может быть снижена с yi = = 0.77кп (при единичном измерении) до == О.З-укл (при п = 45), т. е. лишь в 2,3 раза при 45-кратном увеличении затрат времени, и что возможности снижения погрешностей путем статистического усреднения весьма ограничены.

Второй важный вывод из рассмотренного примера состоит в том, что при оценке погрешности результата статистического усреднения крайне важен всесторонний анализ и учет неисключен-ных систематических погрешностей, которые не уменьшаются при статистическом усреднении, о чем часто забывают, увлекшись изящностью методов статистической обработки.

И, наконец, третий вывод заключается в том, что практически реализовать все возможности статистического повышения точнос-сти можно лишь тогда, когда одновременно со статистическим усреднением случайных погрешностей производится достаточно полное исключение систематических погрешностей.

Автоматическое исключение систематических погрешностей. При метрологических измерениях, проводимых в значительной своей части вручную, все систематические погрешности тщательно анализируются и исключаются путем введения соответствующих поправок. Подобное исключение систематических погрешностей, вообще говоря, могло быть произведено и при прове-