ления по экспериментальным данным числовых характеристик паспределений, которые и излагаются ниже. При этом приходится отметить, что во многих пособиях и руководствах по обработке экспериментальных данных некоторые положения математической статистики даются без должного пояснения исходных допущеят"*?, что нередко является источником ошибочных ограничений неправильного их использования. Поэтому некоторым, казал. бы, общепринятым положениям ниже будет дана несколько иная трактовка.

4-2. РАССЕЯНИЕ ОЦЕНКИ КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА

Основной смысл усреднения многократных отсчетов заключается в том, что найденная усредненная оценка координаты их центра имеет меньшую случайную погрешность, чем отдельные отсчеты, по которым она находится. Так, например, если бы искомая кривая х =f{t) на рис. 4-1, б определялась путем лишь одного отсчета при каждом из t, то она могла бы случайным образом занять любое положение внутри полосы погрешностей (например, штриховая линия). При проведении п отсчетов при каждом tj сами отсчеты по-прежнему будут располагаться случайным образом внутри той же полосы, однако линия их центров будет более устойчива.

Тем не менее, если все исследование (снимая по п отсчетов при каждом из tj) провести еще и еще раз, то получаемые линии центров не совпадут между собой, а хотя и меньше, но будут случайным образом отличаться друг от друга. Таким образом, усреднение не устраняет полностью случайный характер усредненного результата, а лишь уменьшает в какое-то число раз ширину полосы его неопределенности.

Наиболее широко распространенным методом определения координаты Хц центра распределения (рис. 4-1, а) является ее оценка в виде среднего арифметического всех отсчетов, т. е. в виде

Х = 4-2х,. (4-1)

Преимущественное использование этой оценки среди теоретиков, а вслед за этим и практиков, объясняется отнюдь не тем, что это «самая лучшая» или, как говорят математики, эффективная оценка центра, а тем, что это единственная оценка, которую можно выразить аналитически, т. е. формулой, и подставлять в таком виде в другие соотношения, анализировать их и т. д. Среднее квадратическое отклонение рассеяния этой оценки зависит от с. к. о. ai разброса усредняемых отсчетов и их числа п (при независимости отсчетов друг от друга) как

ax=ojyii. (4-2)

Таким образом, с. к. о. случайной погрешности усредненного результата убывает по сравнению со с. к. о. самих усредняемых отсчетов в У~п раз. На этом и основан принцип повышения точности в результате усреднения многократных отсчетов (см. также § 8-9).

Положительной стороной метода статистического усреднения является то, что при усреднении одновременно уменьшаются все случайные погрешности вне зависимости от их происхождения (диффузность, т. е. невоспроизводимость самого объекта исследования, случайные погрешности всех используемых средств измерений, случайные погрешности округления при вычислении отдельных наблюдений и т. д.). При этом соотношение (4-2) справедливо при любом законе распределения исходных данных (с конечным вторым моментом) и любом их числе, но при условии их независимости.

Однако, адспользуя этот метод, следует помнить, что если во всех результатах наблюдений присутствует одна и та же систематическая погрешность, то согласно формуле (4-1) она никак не усредняется, т. е. систематические погрешности при этом не устраняются (см. § 4-7, 8-3).

Другой особенностью метода усреднения является то, что он возможен в *том случае, если исходные данные имеют разброс, т. е. в них первоначально сохраняются последние неустойчивые десятичные знаки.

Таким образом, оперируя оценками о и о, необходимо четко различать их между собой и помнить, что они характеризуют лишь случайную составляющую погрешности. Оценка с. к. о. ai характеризует ширину полосы неопределенности самих исходных данных (на рис. 4-1,6 -это ширина полосы 2Дх,-). Оценка же ag характеризует в раз более узкую полосу неопределенности найденной усредненной зависимости, обозначенную на рис. 4-1,6 через 2Дзе.

Закон распределения X при п 30 близок к нормальному при любом законе распределения исходных данных с к =?ь 0. Поэтому переход от оценки ag к квантильной оценке погрешности с заданной доверительной вероятностью Р производится в этом случае как

Др=на = н, (4-3)

где - нормированная квантиль нормального распределения для заданной вероятности Р.

Значения нормированных квантилей нормального распределения для ряда уровней значимости 9=1 - Р, где Р - двусторонняя вероятность, приведены ниже:

0=1 -Р....... 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0,005 0.002

Р .......... 0,8 0,9 0,95 0,98 0,99 0,995 0,998

<н......... 1,28 1,64 1,96 2,33 2,58 2,81 3,09

Распределение Стьюдента используется для квантильной оценки Др погрешности X при малом числе наблюдений (и < 30). Для расчета оценки погрешности Ар с заданной доверительной ве-, роятностью согласно выражению (4-3) необходимо знание оцен- ки Oxi разброса самих исходных данных. При п > 30 эта оценка может быть найдена путем обработки этих данных. Однако если мы располагаем малым числом наблюдений (2 < п < 30), то формально найденная оценка а (обозначим ее в этом случае через Sxi) согласно соотношению

S„, = ]/(Xi-X)«/(«-l)

(4-4)

будет сама иметь большой разброс и найденная квантильная оценка разброса среднего может иметь большую ошибку. Поэтому пользоваться для оценки рассеяния х квантилями ts нормального распределения можно только в тех случаях, когда оценка ai была определена по выборке и > 30 наблюдений. Затем ее можно использовать в выражении (4-3) и при малом п, если измерения продолжаются тем же методом, в тех же условиях и на той же аппаратуре, т. е. есть основания полагать, что aj остается неизменной.

Если выполнить серию из 30 измерений невозможно или нецелесообразно, то использование соотношения (4-3) неправомерно. Так, если 1С находится всего по двум наблюдениям Xi и х, как X = (Xi + Х2)/2, то оценка с. к. о. Xi в виде

Sxi = ]/i {Xi ~ Xf/{n - 1) =

= VHy /(2 =-J-

из-за своей случайности несет мало информации о действительном значении aj.

С подобным положением мы будем встречаться и при определении оценок других параметров распределений (эксцесса, контрэксцесса, энтропийного коэффициента), когда оценка, определенная по малой выборке, может существенно отличаться от значения этого параметра для генеральной совокупности. Для оценки таких расхождений придется довольствоваться весьма приближенными методами. Для рассматриваемого же случая квантильной оценки отклонений среднего строгое решение было найдено еще в 1908 г. англичанином В. С. Госсетом 1876-1937). Он показал, что распределение величины t = (Х - XliSxifVn) =

=== (X - Хсо) S (Xi - Х)Ч[п (п - 1)] при нормально распре-