лания может быть определено лишь с бесконечно большим разбросом, т. е. практически неопределимо.

Эти чисто математические ограничения не имели бы большого значения, если бы подобные распределения не встречались на практике. Однако примеры распределений, полученные в табл. 3-3, убеждакуг в обратном, так как операция деления для ползгчения результатов косвенных измерений используется весьма часто, это влечет за собой ряд совсем не очевидных, с первого взгляда, следствий.

Так, например, любой человек, рассматривая кривые плотности распределения, приведенные в табл. 3-3, без каких-либо затруднений укажет иентры этих распределений. Однако кривые всех этих распределений при хоо спадают положе, чем и не имеют математических ожиданий. Поэтому попытка определить координаты их центров как среднее арифметическое на практике приведет к очень большому разбросу. Тем более все эти распределения не имеют дисперсии (у всех о = сю), поэтому попытка сравнить их ширину путем вычислений с. к. о. - бессмысленна. Как же это понимать?

Для достаточно круто спадающих кривых распределений (нормального, экспоненциального, трапецеидального и т. п.) теория вероятностей использует очень удобный метод для оценки их параметров - метод моментов. Следствием этого метода и явились очень удобные понятия «математического ожидания», «среднего квадратнческого отклонения» и т. д. Но метод моментов и основанные на-нем понятия правомерны лишь до тех пор, пока существуют моменты, и не правомерны в тех случаях, когда у распределения этих моментов не существует.

Возможно, что подготовленный в области теории вероятностей читатель еще в начале гл. 2 недоумевал по поводу того, зачем авторам этой книги потребовалось использовать понятие «центр распределения» вместо общепризнанного и привычного понятия «математическое ожидание»? Но после приведенных примеров ясно, что понятие «центр распределения» является более общим, а следовательно, и более фундаментальным, чем понятие «математическое ожидание», так как центр имеют все распределения, а математическое ожидание - лишь некоторые из них.

Естественно, что координаты центра и ширина распределения могут быть определены как математическое ожидание и с. к. о. лишь у тех распределений, которые имеют конечные первый и второй моменты. Определение параметров более полого спадающих распределений должно опираться на моменты б о л е.е низких порядков, которые существуют у любого распределения.

Координата центра может быть определена как 50%-ная квантиль, т. е. медиана, или как центр сгибов (т. е. полусумма 25%- и 75%-ной квантили), так как существование квантилей требует наличия лишь условия нормирования, т. е. существования Момента нулевогопорядка.

Оценка ширины таких распределений может быть произведена на основе шенноновской энтропии и вьп-екающего из нее понятия энтропийного интервала неопределенности. Действительно, для энтропии непрерывной случайной величины К. Шеннон ввел определение в виде своеобразного логарифмического момента

Я = - ll\npix)]p(x)dx

(см. § 2-3). Этот момент существует для всех распределений, кривая плотности р (х) которых спадает при х оо менее полого, чем 11{х \пх), т. е. существует для всех распределений, приведенных в табл. 3-3, поэтому в ней указаны энтропийные значения Дд погрешности для всех приведенных распределений.

Достоинство энтропийной оценки ширины распределения по сравнению со с. к. о. состоит не только в том, что она существует для более пологих распределений, для которых с. к. о. не существует, но и в том, что энтропия Н и энтропийное значение Дд не требуют для своего определения знания координаты центра распределения, в тр время как с. к. о. есть корень из второго центрального момента и не может быть найдено без предварительного определения координаты центра, а поэтому сохраняет в себе ошибку определения этой координаты.

На основании изложенного можно сделать общие выводы относительно вероятностного описания погрешностей результата косвенного измерения.

1. Если при расчете погрешности прямых измерений необходимо учитывать деформации законов распределения при суммировании случайных величин в виде образования их композиций, то при расчете погрешностей косвенных измерений необходимо учитывать более сложные деформации законов распределения при перемножении и делении случайных величин.

2. Если при суммировании случайных величин основной тенденцией при деформации законов распределения является стремление закона распределения суммы к нормальному распределению, то при перемножении или делении случайных величин эта тенденция совершенно иная. При перемножении центрированных независимых случайных величин контрэксцесс распределения произведения примерно равен произведению контрэксцессов сомножителей. Поэтому контрэксцесс распределения произведения всегда только меньше контрэксцесса сомножителей и тенденция его изменения заключается в стремлении -к -> 0. Распределение частного от деления двух независимых центрированных случайных величин всегда имеет к = О, т. е. не имеет моментов, определяющих математическое ожидание и дисперсию.

3. Следствием предыдущего является то, что оценки центра

й ширины распределения отношении могут бьггь определены только медианными, квантильными и энтропийными методами.

4. В общем случае случайные величины, над которыми производятся операции умножения и деления при вычислении результата косвенного измерения, не являются центрированными, а могут содержать значительную систематическую составляющую.

Так, например, если X =Х + X и Y = Y + Y, гд,е X и Y - средние значения, а X и Y - центрированные случайные составляющие, то Z = XY = XY +XY + XY +XY =XY [1 + , )(/х + Y/Y + XY/iXY) ]. Если X <t X и F « К, то член Ay/{XY) есть величина второго порядка малости и ею можно пренебречь. Тогда мы полагаем, что Z = XY (1 -- у -- уу), т. е. Z = XY с относительной погрешностью =у„ -{- уу, равной сумме относительных погрешностей х и у. Если же X О и F О,

то Z = XY. В промежуточном же случае: Z = {X -\- X) (Y -\- Y), нужно решение с учетом доли указанного влияния. Аналогично

при Z = (X + X)f{Y -\- Y) такое влияние нельзя не учитывать.

Из рассмотрения изложенных особенностей оценки погрешностей косвенных измерений можно сделать следующие практические выводы.

1. При прямых измерениях погрешность результата измерения при использовании данного СИ изменяется (см. рис. 1-4) от некоторого минимального значения и до бесконечности. Но это изме- нение является функцией лишь одного аргумента - самой измеряемой величины, и поэтому такая зависимость может быть выражена в явном виде и использована для нормирования этой погрешности в виде одночленных, двучленных и трехчленных формул.

При косвенном измерении погрешность результата является функцией многих аргументов {х, Xk, .Ухх, Тжь), часть из которых (x-i, Xfe) при автоматическом проведении косвенных измерений остается неизвестной получателю информации. Что же касается результата Z косвенного измерения, который выдается ИВК получателю информации, то он (см. формулу 3-10) не входит в число аргументов, определяющих его погрешность. Поэтому нормирование погрешности у (Z) в функции Z, как этот делается для всех СИ, для результатов косвенных измерений принципиально невозможно.

2. В этих условиях приобретает особую важность анализ и расчет погрешностей результатов косвенных измерений. Однако строгий расчет погрешности у (Z) затруднен тем, что в этом случае погрешности результатов измерения могут быть распределены по таким законам распределения вероятностей, которые не рассматриваются в учебниках и справочниках по теории вероятностей. Рассмотренный в § 3-5 пример расчета погрепшости измеритель-