= 0,55) становится уже меньше, чем у нормального. При перемножении двух нормально распределенных или четырех равномерно распределенных величин контрэксцесс произведения становится равным 0,33, т. е. таким малым, какого никогда не бывает у погрешности прямых измерений. При перемножении четырех нормальных к =0,П, а для произведения трех распределенных по закону Лапласа центрированных величин - к = 0,07 и т. д.

Уменьшение разброса результатов путем вычисления среднего арифметического при таких значениях контрэксцесса распределений крайне неэффективно (см.§ 4-3). Уменьшение разброса может быть достигнуто только при использовании медианных методов усреднений. Как будет показано на рис. 4-2, а, эффективность оценки координаты центра медианой для нормального распределения примерно в 2 раза больше, чем для равномерного, для распределения Лапласа - в 4 раза больше, чем для равномерного, а для распределений с и, равным 0,2 и 0,1, соответственно больше в 12 и 24 раза. Это полезно иметь в виду при организации косвенных измерений и оценке их погрешностей.

Еще большими особенностями по сравнению с законами распределения погрешностей прямых измерений обладают законы распределения частного от деления друг на друга независимых центрированных случайных величин; некоторые из них приведены в табл. 3-3. В п. 1 табл. 3-3 приведен закон распределения случайной величины Z = XIY, являющейся частным от деления друг на друга независимых центрированных случайных величин X и У, распределенных по закону арксинуса соответственно, на интервалах [-а, а] и [-Ь, Ы; в п. 2 - закон распределения частного, когда величина X распределена на интервале [-а, а ] арксинусоидально, а величина Y на интервале [-Ъ, Ъ ] - равномерно; в п. 3 - когда, наоборот, X на интервале [-а, а] распределена равномерно, а У на интервале [-Ь, Ь] - по закону арксинуса; в п. 4 - когда числитель и знаменатель дроби Z распределены равномерно, соответственно в интервалах [-а, а] и [-Ь, Ь]. В п. 5 приведено распределение частного Z = X,/Y двух нормально распределенных независимых центрированных величин со с. к. о., равным соответственно и Оу. Это единственно общеизвестный закон распределения Коши с параметром ширины распределения с = ojfy

И наконец, в п. 6 табл. 3-3 приведен закон распределения частного от деления друг на друга двух независимых случайных величин, распределенных по закону Лапласа со с. к. о., равными соответственно и Оу.

Общей особенностью этих распределений является отсутствие моментов выше нулевого порядка.

Взаимосвязь существования моментов распределения и возможностей оценки его параметров. Выше уже подчеркивалось, что кривой плотности распределения может быть лишь такая кривая, площадь под. которой может быть приравнена единице, т. е.

Вид распределения

Параметры распределения

P(z) =

b + аг

b - аг

p(z) =

при IzK- ;

b , , b

при1г!>-:

: 6.85 - = a

: б,59ож/ор, где G = 0,91596 ... - постоянная Каталана

р(г) =

пйг« 1+yi -6/(g2) р 11>4-:

я <=в 3,71 = 4,54o:„/oj,

p(z) =

а , , b

Jf при 2l<-5

b , , b

Аэ = 2еА«,5,437 4-

Продолжение табл. 3-3

Номер пп.

Вид распределения

Параметры распределения

Дэ = 2пс 6,28ож/Ор

выполняется «условие нормирования в виде равенства единице мо-мента нулевого порядка хр {x)dx = 1. Подобное равенство

может существовать только тогда, когда кривая р {х) спадает при X оо круче, чем 1/л:+°, где а - сколь угодно малая положительная величина.

Для существования у распределения математического ожида-ния, определяемого первым моментом М [X] = xp{x)dx, кри-

вая распределения р (х) при х ~ оо должна спадать круче, чем Ifx+a, Если же этот спад более пологий, чем 1/х, то интеграл, определяющий первый момент, не имеет конечного значения и, следовательно, распределение с такой кривой плотности н е имеет математического ожидания.

Для существования дисперсии, а следовательно, и для существования с. к. о., кривая распределения при х ->• сх> должна спадать круче, чем l/x", где а - сколь угодно малая величина. Если это условие не выполняется, то с. к. о. и дисперсии у такого распределения не существует (они равны бесконечности). Это одновременно означает, что с. к. о. оценки математического ожидания, равное Сх - ojyn, при любом конечном объеме выборки п наблюдаемых отсчегов также будет равно бесконечности, т. е. сам факт существования математического ожидания распределения еще не означает, что его значение может быть определено при конечном п. Если у распределения D -> оо и о -> со, так как не существует второго момента, то и значение математического ожи-