3d 20 10

Рис. 3-8

колеблются в пределах от 19 до 21 Вт/(м2. К). Но при других сочетаниях температур (см. табл. 3-1) эта полоса расширяется. При ширине этой полосы ±100% выводимые на печать значения 1 будут находиться в интервале от О до 40 Вт/{м2. К), а при еще менее благоприятных сочетаниях измеряемых температур, когда ©1 - ©3 и ©2 - ©3 близки к нулю, возможно получение даже отрицательных значений, тогда как коэффициент теплоотдачи - величина положительная.

Встретившись на практике с подобной ситуацией, экспериментатор попытается усреднить разброс этих данных обычным путем вычисления их среднего арифметического и будет поражен тем, что их среднее арифметическое имеет разброс того же порядка, что и сами эти дан1Ф1е. Это вызвано тем, что рассматриваемая ситуация не тривиальна даже с позиций теории вероятностей.

Почему же ничего подобного не наблюдается при измерении неизвестного сопротивления четырехплечим мостом и вычислении результата по формуле = RRR Да потому, что соотношение сопротивлений плеч моста RIRi. является отношением не случайных, а заранее известных постоянных величин. В данном же случае результат измерения в виде неслучайной величины находится как отношение случайных величин ©а - ©з и © - ©g.

Как отмечалось в § 2-4, отношение двух центрированных нормально распределенных случайных величин распределено по закону распределения Коши. Особенностью распределения Коши является то, что для него центр распределения не может быть найден как среднее арифметическое полученных отсчетов, так как распределение Коши не имеет моментов - определяющие их выражения равны бесконечности. Поэтому и рассеяние оценки координаты центра в виде среднего арифметического наблюдаемых отсчетов также стремится к бесконечности (см. § 4-3).

В данном случае и числитель ©а - ©з и знаменатель © - ©g Дроби (3-8), вычислением которой определяется искомая величина I, изменяются во времени в первом приближении синусоидально и одновременно содержат в себе случайные погрешности, которые

мы считаем центрированными и вычисляем по соотношениям (3-10). До тех пор пока детерминированная часть этих величин (изменяющаяся во времени приблизительно синусоидально) остается существенно большей, чем размах центрированной случайной погрешности, можно считать, что эти погрешности суммируются и их результирующее распределение является композицией законов распределения суммируемых составляющих. Однако в области приближения детерминированной составляющей к нулю такая трактовка уже неправомерна.

При отсутствии детерминированной составляющей и числитель и знаменатель дроби (3-8) суть центрированные случайные величины и распределение получаемых результатов есть распределение отношения этих центрированных случайных величин, которое весьма существенно отличается по своим свойствам от широко известных распределений и их композиций. Так как в курсах по теории вероятностей этот вопрос, как правило, не рассматривается, то представляется целесообразным коснуться его хотя бы самым кратким образом.

Примеры законов распределения произведений и отношений некоторых центрированных независимых случайных величин. В п. 1 таблТ 3-2 приведены график и аналитическое выражение плотности распределения случайной величины Z = XY, являющейся произведением двух независимых центрированных случайных величин. При этом случайная величина X распределена по закону арксинуса на интервале [-а, а], а величина Y распределена равномерно на интервале [-Ь, Ь].

В п. 2 приведено распределение плотности произведения двух случайных величин, равномерно распределенных на интервалах [-а, а\ и !-Ь, Ь], в п. 3 - двух нормально распределенных, а в п. 4 - распределенных по законам Лапласа с с. к. о. и Og соответственно.

Общим свойством всех этих распределений является то, что контрэксцесс распределения произведения приблизительно равен произведению контрэксцессов сомножителей, т. е. к кщ. Поэтому если, например, для арксинусойдального распределения (п. 1 табл. 3-2) %х =У =V2/3 и для равномерного распределения =]/1/1,8 = 1/5/9, то контрэксцесс их произведения я У2/3-У5/9 = 0,61, т. е. существенно меньше, чем контрэксцесс исходных распределений. Подобное же понижение значений контрэкспесса имеет место и при других законах распределения: с 0,745 до 0.55 - для п. 2, с 0,577 до 0,33 - для п. 3 и с 0,408 до 0,16 - для п. 4.

Это может иметь существенное практическое значение при расчете погрешности результатов косвенных измерений. Как будет показано в § 4-3 и 4-4, чем меньше значение контрэксцесса распределения, тем труднее (с большими погрешностями) определяются по экспериментальным данным его параметры (оценка координаты

Номер пп.

Вид распределения

Параметры распределения

J3.-j=l

p{z).

I 1д I+¥1-1/)12

2nab l yi z/(«i)ia

при zg6; 0 при 2>й6;

« 0.61

P(*) =

21п(Аб/1г) при \ г\аЬ;

О при \ г\->аЬ\ 1 1

г« 0,55;

Va 1/178 Дэ = Ъос~ где С = 5,57721 .... - постоянная Эйлера;

йэ= Зе-» 1,966

p(z) =

У4лсг 1

1/3 Уз

е", где c = OiOa; (=b0,33

\\2\ 1 1

Уб У6

центра распределения, оценка ширины распределения, т. е. погрешности, и т. д. - см. рис. 4-2 и 4-4).

При прямых измерениях это не имеет большого значения, так как практически контрэксцесс распределения погрешностей не бывает меньше 0,4. Но при косвенных измерениях искомый результат Z может быть произведением большого числа сомножителей.

Как видно из табл. 3-2, при перемножении лишь двух равномерно распределенных центрированных случайных величин (их = = Иа = 0,745) контрэксцесс распределения их произведения (и =