в этой связи jTMecTHO заметить, что нежелание вести обстоятельный анализ погрешностей нередко оправдывают тем, что арифметическое суммирование «обеспечивает полезный запас на незнание» и для убедительности приводят пример гранитных мостов, построенных в Ленинграде в петровскую эпоху, которые и теперь позволяют вести на парад любую современную военную технику. Но представьте себе современный авиалайнер, сконструированный с «запасами на незнание» петровской эпохи. Вряд ли такое сооружение сможет оторваться от взлетной полосы, даже без пассажиров.

3-6. РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Результат Z косвенного измерения определяется расчетом по измеренным значениям Xi, Х2, хизаранее известной функции Z = f (xi, Х2, Xk). Так Как каждое Xj, где / = 1, k, измерено с соответствующей погрешностью yj, то задача расчета погрешности «р результата Z косвенного измерения сводится к суммированию всех k погрешностей измерения т. е. аналогична рассмотренной выше задаче расчета погрешности измерительного канала по известньш составляющим. Но отличие состоит в том, что доля отдельных погрешностей у в результирующей погрешности Ух может быть различной в вависимости от в и д а функции исоотношения между собой независимых переменных Xj,

Пусть Z = % + Х2, но Xj, > Х2, например % ЮОСа- В этом случае погрешность в 1%, допуш.енная при измерении х, внесет в результат Z относительную погрешность всего в 0,01 %, но такая же погрешность в 1 %, допущенная при измерении х, практически полностью войдет в погрешность результата Z. При функции f {Xi,Xs) вида Z=Xjyx2 независимо от соотношения между собой Xi и погрешность измерения х, полностью входит в погрешность Z, а погрешность измерения - только % своей частью и т. д.

Так как возможные функции Z - f ж) и соотношения

Xj могут быть самыми разнообразными, то для определения чувствительности погрешности Z к изменению погрешностей % используют общий прием, заключающийся в определении частных производных!

Полученные таким путем вначения dZJdXj при данном сочетании «1, можно рассматривать как веса, с которыми в суммарную

абсолютную погрешность AZ входят составляюшце в виде абсолюту ных погрешностей измерения каждого из л:;. Отсюда составляюшдя абсолютной погрешности Aj (Z), возникающая от абсолютной

погрешности Д (х), будет Д (Z) = {dZJdx )Д (xj). Аналогично этому, если известны с. к. о. случайной абсолютной погрешности 0 (Xj) отдельных Xj, то с. к. о. соответствуюш;их составляющих результирующей абсолютной погрешности AZ будут о,- (2) ~ = (dZ/dXj) а (Xj).

Далее методика вычисления суммарной погрешности Д2, т. е. суммирование всех составляющих (Z), совершенно аналогична рассмотренной вьипе методике суммирования погрешностей измерительного канала. Так, например, для некоррелированных составляющих с. к. о. погрешности

0(2) = ]/о(2) = / idZldXifa\xi),

а для коррелированнглх составляющих А {xd) и А (хь) результирующая погрешность определяется как их алгебраическая сумма, но с учетом весов dZ/dxp

А..ь = А(х.) + ДЫ.

Особенностью метода частных производных для расчета результирующей погрешности результата Z косвенных измерений является то, что он правомерен только для абсолютных погрешностей. Относительные их значения должны находиться соответствующим пересчетом.

Для простейших функций Z ~ f (xi, х) метод частнглх производных приводится к ряду простых соотношений, которые могут быть сформулированы в виде легко запоминающихся правил.

Так, для функции вида Z = + + ... + все частные производные dZ/dXj равны единице и поэтому о (Z) ==Vjo (xJ) и ikai, = Д {х„} + Д (хь), т. е. абсолютная погрешность суммы просто равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. Однако относительная погрешность суммы ~ ~ ta {Z)l{x- + + ... + Xfe), т. е. является сложной функцией, зависящей не только от погрешностей слагаемых, но и от сочетания значений самих измеренных слагаемых.

Для функции вида Z = хл-.-х, наоборот, относительная погрешность у очень просто выражается через относительные погрешности аргументов ух!- Действительно, если уравнение этой ф1ункции прологарифмировать, то получим

In Z == In Xi + In + ... + In Xft

и после дифференцирования

dZ I tixfe

Заменяя дифференциалш малыми конечными приращениями (чем погрешности по существу и являются), получим

Z хь

fZ == + Тд2 + -ЬТжй (3-7)

т. е. относительная погрешность произведения просто равна сумме относительных погрешностей сомножителей. Зато абсолютная погрешность в этом случае AZ = Vz = (Тзд + Y.-<;a + -.• + + Тж) XyX.-.x-k, т. е. зависит не только от значений у, но и от сочетания значений х, xj.

Сформулированные простейшие правила определения погрешности результата Z косвенного измерения распространяются не только на сумму и произведение х, но и на их разность и отношение. Но если при этом погрешности х, рассматриваются как случайные, то получаемые при дифференцировании знаки производных не должны учитываться при суммировании составляющих, если только они не являются взаимно коррелированными.

Так, например, при функции вида Z = % + - - х\ dZjdxi = +1, dZldx =5 +1, но dZjdx =5 --1 и az/ax* = -1, отсюда AZ = А {х + А {х - А (Xg) - А (х*), но для некоррелированных погрешностей а® щ = IV {xj + lo (xg) -~ -f Ро (xg) + 1*0® (Ха). Таким образом, дисперсия разности двух случайных величин равна не разности, а с у м м е их дисперсий. Поэтому несмотря на отрицательные знаки частных производных, погрешности составляющих должшя не вычитаться, а складываться. То же самое должно производиться и для соотношения (3-7) при расчете относительной погрешности не произведения, а частного. Хотя, например, для функции Z - XiX2/(XsX4) после логарифмирования In Z = In Xi + In Xg In Xg - In x относительные погрешности должны всегда складываться, если только они жестко не коррелированы.

Использованный вьш1е прием логарифмирования и последующего дифференцирования функции Z = f (xi, с целью вывода формулы для yz = F {хъ Хи, Ухъ T*ft) удобно использовать во всех случаях, когда это оказывается возможным.

Например, для приведенной в начале этого параграфа функции = XiVxi In Z = In Xi + 0,2 In Xg и с. к. о. относительной погрешности а (Z) ="j/a2 (Xi) + (0,2)02 (xg), где а (xi) и а (Xg) - относительные значения с. к. о. погрешностей Xj. и Xg. Если бы эта функция имела вид Z = xix, то In Z = In Xi + 5In xg и с. к. о. относительной погрешности было бы о (Z) ==-У02 (xi) + 5202 и т. д.

Итог проведенного рассмотрения можно подвести следующим образом. Расчет погрешности результатов косвенных измерений