ИВК встает задача суммирования погрешностей нескольких измерительных преобразователей, образующих данный измерительный канал.

При определении погрешности как прямых, так и косвенных измерений к погрешностям используемых средств измерений должны быть добавлены методические погрешности, погрешности, появляющиеся при отсчете показаний, расшифровке осциллограмм, должен быть учтен иногда очень сложный механизм трансформации погрешностей каждого из результатов прямых измерений в результирующую погрешность результата косвенного измерения и т. д. Таким образом, задача расчетного суммирования погрешностей - это одна из основных задач как при создании средств измерений, так и при оценке погрешностей результатов самих измерений.

Трудность проведения такого суммирования заключается в том, что все составляющие погрешности должны рассматриваться как случайные величины, принимающие в каждой частной реализации самые разнообразные значения. С точки зрения теории вероятностей они могут быть наиболее полно описаны своими законами распределения, а их совместное действие - соответствую-ющим многомерным законом распределения. Однако в такой постановке задача суммирования погрешностей практически неразрешима уже для 3-4 составляющих (не говоря уже о 30-40), так как операции с такими многомерными законами непреодолимо сложны. Поэтому практический путь решения задачи суммирования состоит в том, чтобы вместо определения многомерных законов распределения подобрать для характеристики составляющих такие числовые оценки (например, среднее квадратическое или энтропийное значение, эксцесс, контрэксцесс, энтропийный коэффициент и т. д.), оперируя с которыми, можно было бы определить соответствующие числовые оценки результирующей погрешности без определения многомерных или результирующих одномерных законов распределения рассматриваемых случайных величин.

При этом оказьюается необходимым учитывать, что: 1) числовые характеристики законов распределения составляющих (например, Sj, ki или ti) могут не оставаться постоянными в функции от значений измеряемой величины, т. е. изменяться в диапазоне ее изменения; 2) отдельные составляющие погрешности могут быть коррелированы между собой; 3) при суммировании случайных величин законы их распределения существенно деформируются, т. е. форма закона распределения суммы может резко отличаться от формы распределения составляющих.

Правила суммирования погрешностей основываются на том предположении (ограничении), что погрешность по абсолютному вначению всегда много меньше самой измеряемой величины. Поэтому, например, изменение погрешности в функции от изменения значений самой измеряемой величины может учитываться самым простейшим способом, а именно путем разделения всех

суммируемых составляющих погрешности на аддитивные и мультипликативные. Далее предполагается, что сумма аддитивных составляющих дает значение аддитивной части результирующей погрешности, а сумма мультипликативных составляющих - мультипликативной.

В пределах диапазона изменения измеряемой величины не более десятикратного изменение результирующей погрешности может быть с достаточной точностью представлено прямой линией. Поэтому достаточно найти значения результирующей погрешности лишь в начале и конце такого диапазона и описать результирующую погрешность простейшей линейной двучленной формулой.

При диапазоне изменения измеряемой величины более десятикратного он может быть разбит на участки и результирующая погрешность определена в начале и конце каждого участка.

Для устранения влияния деформации формы законов распределения при суммировании погрешностей все суммируемые составляющие исходно представляются своими с. к. о. а и все операции расчетного суммирования производятся только над этими средними квадратическими значениями (с. к. о.) погрешностей.

Учет взаимных корреляционных связей между суммируемыми составляющими производится путем использования различных правил суммирования для жестко коррелированных и слабо коррелированных составляющих.

В результате суммирования с. к. о. исходных составляющих получают с. к. о., соответственно, аддитивной и мультипликативной составляющих результирующей погрешности. Среднее квадратическое отклонение аддитивной составляющей характеризует результирующую погрешность в начале диапазона измерений (при л: ?w 0), а для определения с. к. о. результирующей погрешности в конце диапазона измерений с, к. о. аддитивной и мультипликативной составляющих должны быть просуммированы. Если диапазон измерений простирается на несколько порядков измеряемой величины, то такое суммирование производится в нескольких точках диапазона, а затем принимается решение о методе описания изменения результирующей погрешности во всем диапазоне.

Чаще всего результирующую погрешность желательно выразить не в виде с. к. о., а в виде некоторого (энтропийного или доверительного) интервала неопределенности. Этот последний переход от с. к. о. 02 к энтропийному уэ ИЛИ доверительному 7д значениям погрешности является с теоретической точки зрения самой трудной операцией при суммировании погрешностей. Дело в том, что Уд = Й2<2 и Тд = h<, гдс энтропийный коэффициент kx или квантильный множитель t- зависят от формы закона распределения результирующей погрешности, а вся излагаемая методика с самого начала была нацелена на то, чтобы обойтись без точного определения результирующего закона распределения суммы всех составляющих (см. § 3-2-3-4).

Дисперсия суммы коррелированных и некоррелированных случайных величин. Из теории вероятностей известно, что дисперсия суммы двух случайныхвеличин в общем случае

D (хг + хг) = D (х,) 4- D (хг) + 2К,,

где D (xj) - дисперсия D {х) - дисперсия х.; Кхх =

!= poiOg - их взаимный корреляционный момент; р - коэффициент корреляции.

Отсюда с. к. о. суммы этих величин а- = У"2рсс -- с.

Если эти величины между собой не коррелированы, то р = О

и Oj; = /oi + of, т. е. в подобном случае для определения оценки результирующей погрешности в виде суммируемые составляющие должны бьггь оценены также средними квадратиче-скими значениями s и Og и эти оценки должны суммироваться геометрически (чем мы и пользовались выше, говоря о суммировании статистически независимых погрешностей).

Однако если х и х жестко и положительно коррелированы между собой (р = +1), т. е. лг принимает значения, лишь строго пропорциональные то всякое положительное отклонение +Axi сопровождается также положительным отклонением -j-Axg и отклонение А (% + х) складывается как A% + Axg. Это формально слецует и из формулы для при р == +1, ибо

= /"oi + 2о,о + al = Oi + 2-

Если же при возрастании х значения х, наоборот, линейно

убывают, то р = -1 и Oj; = "Kaj - 200 + or = - 021-

Таким образом, оценки жестко коррелированных погрешностей (р =±1) должны суммироваться не геометрически,а алгебраически с учетом их знаков.

Понятия корреляционной связи и коэффициента корреляции. Они излагаются во многих курсах теории вероятностей, однако для человека, впервые сталкивающегося с ними, эти понятия, как показывает опыт, долгое время остаются достаточно туманными. А так как в дальнейшем в этой книге нам еще не раз придется обращаться к использованию понятия коэффициента корреляции, то позволим себе несколько отклониться от основного вопроса и обсудить это специфическое понятие.

Если при изменении величины х другая величина у изменяется так, что каждому значению лг соответствует совершенно определенное значение yi, то такую связь называют функциональной. Однако на практике, вследствие влияния случайных погрешностей при измерениях, мы наблюдаем такие зависимости в несколько ином виде. Ограничимся рассмотрением только линейной зависимости, когда на графике экспериментальных данных такая связь явно просматривается (т. е. видно, что в среднем на рис. 3-1, б у kx), но строгого соответствия между Xi и yi (как на рис. 3-1, а) нет. Одному и тому же значению Xt в разных реализациях могут соответствовать различные значения yi в интервале Laj,.