Нормальное Экспонентамное

О 1,0 Рис. 2-11

пересекаются между собой в очень узком интервале значений ф = 1,6 ± 0,05. Поэтому с погрешностью в 0,05о можно считать, что 0,05-я и 0,95-я квантили для любых из этих распределений могут быть определены как Хо.об = Xj, - 1,6а и Хо,95 = Хц -f-+ 1,6а, где Хц - координата центра распределения. Отсюда значение погрешности, определенное как Ao,s = 1,6а (с погрешностью ±0,05а), для любых из этих распределений является погрешно-вероятностью. Именно эта обряда классов распределений и

стью е 90%-ной доверительной щая точка интегральных кривых

была найдена Б. Л. Рыбкиным, а также в работах [if, 32, 33, 40].

При F (л:) > 0,95, т. е. при Яд > 0,9 интегральные кривые для разных законов распределения резко расходятся между собой. Производить их усреднение, как это было сделано в приложении 2 ГОСТ 8.009-72, не имеет смысла. Поэтому это приложение из ГОСТ 8.009-72 было изъято как необоснованное, однако подобная усредненная зависимость вновь введена в ГОСТ 8.009-84.

Задача же, наоборот, состоит в том, чтобы вместо большого числа таблиц квантилей разнообразных распределений, которые безусловно не могут быть сведены к единой «средней» кривой, найти хотя бы приближенное аналитическое описание веера интегральных кривых этих распределений в области > 1,6 и F (л:) > > 0,95 на рис. 2-11 от какого-либо числового параметра формы распределения.

В качестве такого параметра, определяемого формой распределения, может быть взято, например, значение эксцесса е, как это было сделано авторами [33 в последнем из предложенных ими соотношений. Таким образом, решение этой задачи состоит в нахождении аппроксимирующих формул вида t = f {в, Рд) для близких классов распределений. А эта близость или удаленность легко определяется благодаря использованию топографической классификации, полученной на основе энтропийного подхода. Поэтому возможность создания аппроксимирующих формул является также одним из практических результатов такой классификации. Если от этих выражений не требовать слишком высокой точности, то, исходя из классификации рис. 2-10, можно заключить, что такое выражение может быть единым как для класса экспоненциальных распределений, так и для распределений Стьюдента с достаточно большим числом степеней свободы (п > 8, и > 0,45), а также и для всего класса трапецеидальных распреде-

t=X/6

Рис. 2-12

лений. ибо значения эн- IP-i-za-F) тропийного коэффициента (отражающего форму этих распределений) при одном и том же значении контрэксцесса для них мало различаются между собой.

Что же касается распределений класса шапо, то из характера кривых топографической классификации следует, что для них функция от эксцесса должна быть совсем иной, чем для класса экспоненциальных распределений.

То же самое относится и к двухмодальным распределениям: формулы для кругловершинных (кривая 10 на рис. 2-10) и островершинных (кривая ) распределений должны быть различными, так как при одном и том же значении эксцесса эти кривые далеко отстоят друг от друга.

Для классов экспоненциальных и трапецеидальных распределений, а также распределений Стьюдента при п > 8, в качестве конкретных моделей, соответствующих области реально встречающихся распределений погрешностей, примем: распределение Лапласа (в = 6, к =0,4), нормальное (е =3, v. =0,677), трапецеидальное с отношением верхнего и нижнего оснований 1:2 (е = 2, и =0,7) и равномерное (б = 1,8, и = 0,746) распределения. Семейство аналитических зависимостей Рд = / {t, s) для указанных четырех распределений изображено на рис. 2-12 сплошными линиями и представляет собой изображенный в увеличенном масштабе участок кривых рис. 2-11 при Р (л:) > 0,95 и >1,6.

Это семейство кривых с погрешностью, не превосходящей 4%, в пределах значений Рд от 0,9 до 0,99 аппроксимируется выражением

= 1,62 Ш (8 - 1,6)/]1/(-д)], (2-19)

а с погрешностью 8% оно пригодно для Рд от 0,99 до 0,999.

Семейство аппроксимирующих кривых в соответствии с (2-19) показано на рис. 2-12 штриховыми линиями, которые удовлетворительно совпадают с теоретическими. Поэтому выражение (2-19) может использоваться для расчета Дд как Дд = to, где t = =-/(е, Р„).

Аналогичное исследование для кругловершинных двухмодальных распределений, представляющих собой композиции нормального и двузначного дискретного распределений, показывает, что на участке е от 3 до 1,3 (к от 0,6

до 0,9) для Яд от 0,9 до 0,999 с погрешностью 10% подобная зависимость аппроксимируется формулой

t ----1,6 {3,6 [1 + Ig (е ~ 1)]ь ь m~Pid\, (2-20)

Для распределений класса шапо, образую-шихся как композиции экспоненциального распределения с а == = 1/2 и равномерного распределения в интервале значений в от 6 до 1,8 с погрешностью 8%, искомое соотношение аппроксимируется формулой

t = 1.56 [1,12 + (8 - l,8)VIO]I-VO-«)]. (2-21)

И, наконец, для островершинных двухмодальных распределений, образующихся как композиция распределения Лапласа и дискретного двузначного распределения,* аналогичная зависимость в интервале значений s от 6 до 1,8 для Рд от 0,9 до 0,999 с погрешностью 5% аппроксимируется формулой

f= 1,23

1 i 1/" е-Г, 0,175

(2-22)

2,6 i p

Таким образом, используя соотношения (2-19)-(2-22), можно с достаточной для практики точностью, не прибегая к использованию таблиц, вычислять доверительные значения • погрешностей для всех классов практически встречающихся распределений погрешностей. Однако для выбора нужной формулы необходимо знать вид класса распределения погрешности. Этот вопрос будет подробно рассмотрен далее на практическом примере в §3-6.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

МЕТОДЫ РАСЧЕТНОГО СУММИРОВАНИЯ СОСТАВЛЯЮЩИХ РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕЙ ПОГРЕШНОСТИ

3-1. основы ТЕОРИИ РАСЧЕТНОГО СУММИРОВАНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Задача определения расчетным путем оценки результирующей погрешности по известным оценкам ее составляющих называется задачей суммирования погрешностей и возникает во многих случаях в практике измерений. Так, для определения погрешности даже отдельного прибора или измерительного преобразователя необходимо суммировать все составляющие его погрешности (основной, от колебаний температуры, от колебания напряжения питания и др.). При создании измерительных каналов ИИС и