угольное распределение Симпсона с к =0,645 и k =2,02, см. табл. 2-2) и точку 8, соответствующую равномерному распределению.

И наконец, классу арксинусоидальных распределений на рис. 2-10 соответствует кривая, соединяющая точку 14 (и =0,816 и k =1,11) с точкой 13, соответствующей композиции двух равных арксинусоидальных распределений с к = 0,667 и . = 1,88 (см. табл. 2-3). (Точки 16 и 15 будут пояснены ниже.)

Предлагаемое представление аналитических моделей законов распределения в виде изображающих точек на плоскости признаков позволяет достаточно наглядно видеть близость или удаленность как различных моделей между собой, так и близость изображающих точек, соответствующих экспериментальным распределениям погрешности, к той или иной аналитической модели.

Для получения ответа на вопрос о том, какие из рассмотренных аналитических моделей пригодны для описания распределений погрешностей средств и результатов измерений, на рис. 2-10 нанесены изображающие точки, соответствующие параметрам 219 распределений погрешностей измерений с помощью различных СИ, собранных в упоминавшейся выше работе [3]. Эти точки на рис. 2-10 обведены штриховым овалом.

При необходимости на плоскости параметров в пределах рассматриваемой области могут быть выделены подобласти, соответствующие различным классам распределений.

Так, при оценке погрешностей средств и результатов измерений закон их распределения чаще всего принимают нормальным или равномерным. Из рис. 2-10 видно, что точки, соответствующие экспериментально полученным распределениям, действительно наиболее плотно группируются вблизи линии 5-8, соответствующей композиции этих распределений. Но для описания таких распределений одновременно пригодны несколько моделей: это трапеции (линия &-12), распределения класса шапо, т. е. композиции равномерного с нормальным (линия 5-8) и другими экспоненциальными распределениями (правая часть кривой 9), и даже кругловершинные двухмодальные распределения (верхний участок кривой 10). При необходимости одна из этих моделей с успехом может быть заменена другой.

Для описания же экспериментальных распределений, точки которых на рис. 2-10 попадают в левую верхнюю область, ограниченную штриховой линией, могут быть использованы лишь модели островершинных экспоненциальных распределений (линия 5-7-6). Внутреннюю часть овала реальных распределений погрешностей можно описать лишь с помощью моделей распределений класса шапо в ее верхней части (правая часть кривой 9) или моделей островершинных двухмодальных распределений (левая часть кривой и, пересекающая нижнюю часть штрихового овала).

Одновременно на рис. 2-10 ввдно, что погрешности обследо- ванных 219 средств измерений никогда не были близки к распределению . Стьюдента (линия 2-3-4) или к введенным ГОСТ 8.011-72 моделям для двухмодальных распределений (названных в этом стандарте «антимодальная I» и «антимодальная II»), изображающие точки которых помечены на рис. 2-10 числами 16 и 15.

В заключение следует отметить, что подобный способ изображения для классификации распределений в свое время предлагался Пирсоном, но в качестве координат признаков он предлагал использовать эксцесс и коэффициент асшмметрии распределений. Этот способ не получил широкого распространения, так как все .чмметричные распределения располагались по оси эксцесса при асимметрии, равной нулю. Лишь использование понятия энтропийного коэффициента позволило получить вторую независимую координату и развернуть эту классификацию в плоскости признаков k - к.

Кроме того, необходимо особо подчеркнуть, что по точке на плоскости признаков k - к нельзя однозначно восстановить закон распределения. Совпадение или близость двух точек (как это было показано на примере линии 5-8, которой одновременно соответствуют несколько разных моделей) отнюдь не гарантируют полного совпадения законов или полного соответствия экспериментальных данных теоретической модели. Близость имеет место лишь в некотором «среднем» смысле. Тем не менее, как показал опыт исследований [3,7,8,32,40,41,421, описанная классификация симметричных распределений оказалась очень полезной на практике, так как позволяет по рассчитанным оценкам k я к получить представление о возможном виде аналитической модели распределения, что может быть выполнено ЭВМ (см. § 5-8) даже без участия оператора.

2-6. ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ПОГРЕШНОСТИ С ЗАДАННОЙ ДОВЕРИТЕЛЬНОЙ ВЕРОЯТНОСТЬЮ

Государственный стандарт 8.011-72 требует для характеристики точности результатов измерений указания или границ интервала, в котором эта погрешность находится с заранее заданной вероятностью, или указания самой функции распределения погрешности.

До тех пор, пока считали, что все случайные погрешности приборов или результатов измерения должны быть распределены только нормально, для определения погрешности дд с заданной доверительной вероятностью Рд рекомендовалось пользоваться таблицей квантилей t стандартного нормального распределения, т. е. определять их как до,9 = 1,65а, До,9б= 1,96а, до,99 = 2,58а, до,987 = 2,97а и до,899 = 3,29а, где а - найденная по достаточно большой выборке оценка с. к] о.

I Однако по мере накопления данных о фактических распределе ниях погрешностей стало очевидным, что они весьма разнообразны и очень часто далеки от нормального. Это большое разнообразие законов распределения погрешностей обусловливает практическую сложность определения доверительных значений погрешностей, так как необходимо иметь таблицы квантилей для всех разновидностей распределений. В связи с этим в последние годы появились предложения различных авторов, пытавшихся найти упрощенное решение этой задачи.

Так, еще в 1966-1968 гг. в работах 140, 321 был приведен расчетный график, показывающий, что для класса экспоненциальных распределений независимо от их вида при значениях контрэксцесса % = 0,3-ь0,74 можно приближенно считать Ао,9 л; 1,65s, а при к = 0,4-=-0,7 - соответственно Ао,95 j» 2о. Аналогичные результаты были получены Б. Л. Рыбкиным (Труды ВНИИМ, вып. 126 (186), 1971, с. 15-25).

В 1969 г. в работе [111 было проведено сравнение интегральных кривых равномерного, трапецеидального, треугольного и нормального распределений и путем их усреднения получена некоторая средняя зависимость t = Ад/а как функция от Рд. Эта. зависимость была включена в виде рекомендуемого приложения 2 в ГОСТ 8.009-72 для определения t в пределах Рд от 0,7 до 0,99 без установления вида распределения. Согласно этой кривой Ао,9 1,64а, Ao,s5=1.9s и Ао.вз --= 2,1о. Сущесгвенным было то, что без знания вида распределения указание погрешности с доверительной вероятностью, большей, чем Рд = 0,99, запрещалось, так как кривая f = / (Рд) обрывалась при Рд = 0,99. Это было очень важным нововведением, так как до этого времени было широко принято приводить совершенно необоснованное значение До,в97 как А = 30. После введения ГОСТ 8.009-72 такое указание погрешностей практически прекратилось.

В 1977 г. в работе [331 на основе сравнения аналитических интегральных кривых различных законов распределения (от Лапласа до равномерного и даже некоторых двухмодальных) авторы рекомендовали следующие приближенные (с погрешностью ±10%) соотношения: Ао,9 = 1,6а, Ао,95 = 1,80 и Ao,s97 = о (где Е = IIJa - эксцесс распределения). Однако указание приближенных соотношений для определения некоторых точек интегральных кривых при двух-трех значениях доверительной вероятности не решает полностью поставленной задачи.

В работе [311 было показано, что среди различных произвольно назначаемых значений доверительной вероятности есть одно значение, обладающее уникальным свойством. Оказывается, что интегральные кривые для широкого класса симметричных, высокоэнтропийных (й>1,7) распределений (равномерного, треугольного, трапецеидальных, нормального, экспоненциальных е а >. 2/3 и двухмодальных с небольшой глубиной антимодальности Сд =о/0< 1,5) в области 0,05-й и 0,95-й квантилей (рис. 2-11)