мально, а построенная систематизацик достаточно полно отражает желаемые особенности формы распределений. Поэтому ограничим свою задачу рассмотрением лишь симметричных распределений, когда левая половина кривой плотности является точным зеркальным отображением ее правой половины.

По числу максимумов в кривой плотности, называемых модами, законы распределения можно разделить на безмодальные (равномерное, трапецеидальные), одномодальные, двухмодальные и полимодальные. Полимодальные законы распределения, имеющие более двух мод, исключим из рассмотрения. Будем полагать, что если из экспериментальных данных получается трех-модальное и более распределение, то это вызвано лишь случайностью малой выборки, а распределение генеральной совокупности случайной величины является плавньш и не имеет более двух мод. Таким образсЯй, предлагаемую классификацию ограничим лишь безмодальными, одномодальными и двухмодальными распределениями.

Обсудим теперь выбор признаков, характеризующих форму распределений. При использовании второго и четвертого центральных моментов форма закона распределения численно характеризуется значением экцесса е. Но эксцесс различных распределений колеблется в бесконечных пределах (от 1 до . оо), из-за чего этот параметр неудобен. Поэтому произведем его нелинейное преобразование в значение контрэксцесса к = 1/УТ, которое для любых распределений заключено в пределах от О (при S = оо) и до I (при 8=1), Таким образом, в качестве первого признака примем значение контрэксцесса к.

Однако классификация распределений по одному контрэксцессу является недостаточной. Г*ассматривая параметры различных законов распределений, читатель уже мог заметить, что совершенно разные законы распределения могут иметь совпадающие значения эксцесса и контрэксцесса. Так, кругловершинное распределение Стьюдента с числом степеней свободы v = 6 (табл. 2-5) и островершинное распределение Лапласа (табл. 2-4) имеют точно совпадающие значения е == 6 и к = 0,408. Эксцесо трапецеидальных распределений с отношением оснований от 1 : 1 до I : 3 изменяется от 1,8 до 2,2 (табл. 2-2), а эксцесс композиций арксинусоидальных распределений изменяется от 1,5 до 2,25, т. е. значения эксцессов этих двух клрссов распределений в значительной мере перекрываются, и т. д.

В качестве второго независимого признака формы закона распределения вероятности предлагается принять значение энтропийного коэффициента k = Дэ/cf, который для любых законов распределения изменяется в пределах от О до У~{пе)/2 як; 2,066.

При использовании этих двух признаков изображающая точка G координатами k и % будет всегда находиться в пределах прямоугольника, ограниченного значениями k от О до 2,066 и значе-

Рис, S-10

ниями к от о до 1. Такая область на плоскости признаков изображена на рис. 2-10. Размесгим на ней все распределения рассмотренных выше классов. Начнем с экстремальных распределений, т. е. двузначного дискретного распределения и семейства распределений Стьюдента. Они занимают в этой области самое правое и самое левое граничные положения.

Дискретное двузначное распределение было показано на рис. 2-1, з и состоит из двух импульсов б-функ-ций при X = -а и X = +а. Шенноновскую энтропию такого распределения можно определить на основании следующих рассуждений. Если при двухмодальном распределении (рис. 2-8, б), состоящем из двух нормальных распределений с Pi = = 0,5 и с центрами -а и -{-а, с. к. о. нормальных распределений будет убывать по сравнению с а, то при < а они практически уже не будут пересекаться между собой и шенноновская энтропия будет определяться лишь суммой их интервалов неопределенности, т. е. будет Н {X) = In (2ан 1/2я;е), а суммарный интервал неопределенности - d - 2Аз = 2ан }/2пе. Среднее квадратическое отклонение же такого распределения при <й будет стремиться к значению Os = а. Отсюда энтропийный коэффициент этого распределения k = Аэ/а = анК2зге/й. При Он-» О это распределение будет стремиться к дискретному двузначному распределению, а его k~-> 0.

Четвертый момент такого распределения р. =с*, поэтому эксцесс 8 = (jjo* - с*/а* = 1, а следовательно, контрэксцесс

и = 1. Таким образом, дискретному двузначному распределению в рассматриваемой области соответствует изображающая точка / с координатами & = О и к = 1 (рис. 2-10).

Геометрическое место точек, соответствующих на рис. 2-10 семейству распределений Стьюдента, представляет собой линию с резким изломом, проходящую через точки 2-5-4-5. Действительно, распределение Коши, представляющее собой распределение Стьюдента с числом степеней свободы

V = I, имеет, как было показано в § 2-4, к==0, а=схэи Дэ = = 2я;й. Следовательно, для него k - Дэ/а = О и соответствующая ему на рис. 2-10 точка 2 имеет координаты к = О и ft = 0. Распределение Стьюдента при числе степеней свободы v = 4 (см. табл. 2-5) имеет к = О и ft = 1,900 (точка 3 на рис. 2-10). При

V == 5 распределение Стьюдента имеет к = 0,333 и & = 1,97 (точка 4 на щс. 2-10). И наконец, при v схэ распределение Стьюдента стремится к нормальному с к = 0,577 и k ~ 2,006 (точка 5 на рис. 2-10).

Геометрическое место точек, соответствующих классу э к-споненциальных распределений, представляет собой на рис. 2-10 кривую, проходящую через точки 2-6- 7-5-8. Экспоненциальное распределение с а О имеет к -*- О и & -> О, т. е. соответствует точке 2. Точка б ск = 0,199 и ft = 1,35 (см. табл. 2-4) соответствует экспоненциальному распределению с а = 1/2, точка 7 - распределению с «=408 и ft = 1,92, т. е. распределению Лапласа, точка 5 - нормальному распределению и, наконец, точка S ск = 0,745 и ft = 1,73 -• равномерному (т. е. экспоненциальному с а -*- схэ).

Семейству распределений типа шапо с экспоненциальной составляющей с а = 1/2 на рис. 2-10 соответствует геометрическое место точек в виде кривой 9. Она начинается (при относительном весе дисперсии равномерной составляющей Рравн = о и соответственно весе экспоненциальной рэко = 1) в точке 6, соответствующей чисто экспоненциальному раслределе-нию, а заканчивается в точке 8, соответствующей чисто равномерному распределению.

Положение геометрических мест точек, соответствующих д в у х-модальным распределениям, существенно зависит от показателя степени экспоненциальной составляющей, входящей в такие композиции. Так, кругловершинным двухмодаль-ным распределениям с экспоненциальной составляющей в виде нормального распределения (с а = 2) на рис. 2-10 соответствует кривая 10, начинающаяся в точке 5, соответствующей нормальному распределению, и заканчивающаяся в точке 1, соответствую-ющей дискрегному двузначному распределению. Островершинным двухмодальным распределениям соответствует кривая 11, начинающаяся в точке 6 и заканчивающаяся в точке 1.

Классу трапецеидальных распределений на рис. 2-10 соответствует кривая, соединяющая точку 12 (тре-