(рис. 2-1, а) с нёрвого взгляда кажется очень похожей на кривую плотности нормального распределения, однако в действительноаи это совсем не так, ибо ее свойства резко отличны от свойств экспоненциальных распределений. Так, дисперсия отсчетов при таком законе распределения вероятностей принципиально не может быть указана, так как определяющий ее интеграл расходится. На практике это означает, что оценка дисперсии и с. к. о., определяемые по полученным экспериментальным данным, будут неограниченно возрастать по мере увеличения объема п этих данных. Естественно, что использование такой оценки неправомерно. Четвертого момента у распределения Коши также не существует, так как определяющий его интеграл расходится, как и интеграл, определяющий дисперсию. Эксцесс распределения Коши Е = На/о* также равен бесконечности, а следовательно, контрэксцесс к = 1/У~в - 0.

Оценка координаты центра Хц распределения Коши в виде среднего арифметического всех наблюдаемых отсчетов также неправомерна, так как ее рассеяние, определяемое как == с/УТг (см. § 4-2), при а = оо равно бесконечности, т. е. распределение Коши не имеет даже определенного значения математического ожидания.

Однако если по практически полученным экспериментальным данным, например при измерении активного сопротивления по падению напряжения на нем от шумового тока, построить кривую распределения плотности вероятности, то получим фигуру (рис. 2-1, о), ясно показывающую и положение центра распределения на числовой оси, и ширину разброса экспериментальных данных. Таким образом, шумовые измерения отнюдь не являются неправомерными. Но классический метод моментов теории вероятностей не способен дать оценку параметров таких распределений. Если вместо математического ожидания для определения координаты центра использовать медиану, то координата центра Хц таких отсчетов при достаточном объеме выборки будет надежно определена (см. § 4-3).

Оценку ширины разброса экспериментальных данных при подобных распре,о,елениях возможно произвести только на основе теории информации. Действительно, интеграл, определяющий энтропию, а следовательно, и энтропийный интервал неопределенности, и энтропийное значение погрешности, сходится и для таких распределений. Энтропия распределения Коши согласно выражениям (2-5) и (2-17)

<х, и/2

In 31 (!-}-.-««) . 2 С lnn(l + tg4) di

= -"1пя 1 + 4" i Incosld = Inn + -g-In2 = ln(4n),

a при использовании вместо (2-17) выражения (2-18) получим Я (X) ~ In (4яй). Отсюда энтропийный интервал неопределенности при распределении Коши d = 4зхй и энтропийное значение погрешности ~ 2яа. Границы энтропийного интервала неопределенности ±Аа помечены на рис. 2-1, а жирными штрихами и согласно кривой рис. 2-6 или юрмуле (2-6) соответствуют доверительной вероятности ~ 0,899 0,9.

2-5. ТОПОГРАФИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ

АНАЛИТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИММЕТРИЧН1Х ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

В учебниках по теории вероятностей обычно (за исключением книги [14]) не дается какой-либо систематизации или классификации законов распределений. Приводятся примеры распределений (нормальное, треугольное, равномерное, Стьюдента и т. д.) без какой-либо связи между собой. Поэтому у изучающего не складывается общей картины возможных разновидностей форм законов распределений. Проведенная в предыдущем параграфе попытка объединения распределений, необходимых для описания погрешностей приборов и результатов измерений, в шесть крупных классов не решает задачи четкой систематизации распределений по их форме, необходимой практику для выбора моделей законов распределения. Остается неясным, какие из них близки между собой по форме и при необходимости могут быть заменены друг другом, а какие, наоборот, далеки друг от друга, и т. д.

Наиболее удобной для практики была бы такая систематизация аналитических моделей законов распределения погрешностей, которая явно показывала бы их взаимную близость или удаленность, а Б идеале позволяла бы оценить эту близость или удаленность численно. Эта систематизация, а на ее основе и классификация, могла бы быть построена, исходя из представлений хорошо разработанной к настоящему времени теории распознавания образов. Закон распределения р {х) как функция характеризуется набором признаков и, и. Выбор характера признаков,

их смысла, числа и формы аналитического представления ничем не ограничен. Признаки могут быть однородными и неоднородными, локальными (относяшимися к отдельным точкам кривых распределений) и интегральными (выражающимися через интегралы, в подынтегральные выражения которых входит закон распределения). Чтобы признаки характеризовали только форму закона распределения, они должны быть безразмерными и не зависеть от смещения центра распределения. В качестве локальных признаков могут быть взяты, например, отношения интерквантиль-ных интервалов; соответствующих заданным значениям вероятно-

стей, или вероятности, соответствующие интервалам dr?o при нескольких заданных значениях коэффициента t. Интегральные признаки проще всего формируются как линейные функционалы от функции р (х). В частности, ими могут служить нормированные моменты распределений

Распространен формальный подход к выбору признаков, когда признаки выбираются как нормированные коэффициенты разложения закона распределения в ряд по какой-либо системе функций (например, в ряд Грама-Шарлье, Хаара и т. п.). При ортогональном разложении коэффициенты разложения являются линейными функционалами

+«

где fi {х) - заданные функции, по которым производится разложение; Ni - нормирующие множители.

В качестве одного из основных преимуществ использования коэффициентов разложения указывают на возможность все более точного представления закона распределения конечным отрезком ряда при увеличении числа членов разложения. Однако задача обратного восстановления закона по признакам .не ставится: при заведомо малом числе признаков это неосуществимо. При выборе признаков желательно, чтобы признаки по отдельности возможно более полно отражали в количественной форме представляющие интерес особенности формы закона распределения. При практическом построении признаков часто оказывается необходимым их нелинейное преобразование: Ll = (ы), = (щ) и т. д., с целью приведения к заданным диапазонам (например, к стандартному интервалу О-1), повышения чувствительности в определенных диапазонах и т. п.

После выбора совокупности признаков целесообразно ввести в рассмотрение в общем случае многомерное пространство признаков Ui, щ., ... (по ортогональным осям откладьтаются численные значения признаков). В пространстве признаков каждый конкретный закон представляется изображающей точкой с координатами Ui, щ, ... Если взять два близких друг другу по форме закона распределения, то им будут соответствовать близкие изображающие точки. Желательно, чтобы был справедлив и обратный переход - близким изображающим точкам должны соответствовать близкие в определенном смысле формы законов распределения.

В отношении простоты описания преимущество имеют такие епособы задания признаков, при которых число признаков мини-