-за -20 -10 о 10

20 30 С 6)

i г-* i -j-!-i-iJHj-А. 1 cj ( i i i-!n 3

,-JO -20 -10 0 10 20 20 X SO -20 -10 0 10 2D 30 T i? Рис. 2-9

трологическом ежегоднике». Закон распределения этих температур достаточно устойчив как для разных лет, так и для различных географических пунктов. В качестве примера приведены гистограммы распределения температур для Москвы (рис, 2-9, а), Пензы (рис. *2-9, б) и Астрахани (рис. 2-9, в). Распределения являются двухмодальными, но несколько асимметричными. Форма распределения и энтропийное значение отклонений от центра сохраняются практически постоянными для любых лет и географических пунктов: k = 1,95, Ag = [20 d= (1-2)] °С, среднее же еначение зависит от географического пункта (в Москве -f 6 "С, Пензе -f 4 °С, Астрахани -f 9 X). Эти данные сведены в ГОСТ 16350-80.

Семейство законов распределения Стьюдента. Эти законы распределения описывают плотность вероятности значений среднего арифметического, вычисленного по выборке из п случайных отсчетов из нормально распределенной генеральной совокупности. Применение этих распределений будет обсуждаться в гл. 4, посвященной методам статистической обработки многократных отсчетов. Здесь же обратим внимание читателя лишь на то, что это не один какой-то «законраспределения Стьюдента», а целое семейство законов, так как вид этого распределения зависит от числа п отсчетов, по которым рассчитывается среднее значение,

В центрированном и нормированном виде семейство распределений Стьюдента описывается выражением

р (X) = -~--- (2-13)

где Г (z) - гамма-функция, а v - так называемое число степеней свободы, зависящее от числа п усредняемых отсчетов: v г-п - 1-

Для нормированных распределений Стьюдента с числом степеней свободы V i> 4 справедливы соотношения!

~ \ п - 3 ~ Sf v~2 и - 5 V ~ 4

V -4

, отсюда V

3(v-2)

y?rfrr2jr(-f)

4 -бхД .

(2-14) (2-15)

(2-16)

.e(v+i)5(v)

= 2 4т£~ = Р(2)-1-1п2,

P(v) =

1 -i- "

V -1

•-1п2

(-1).

Параметры распределений Стьюдента с v > 4 приведены в табл. 2-5.

Как видно из соотношения (2-14), особенность распределений Стьюдента состоит в том, что при n -< 3 (v -< 2) их с. к. о. а становится равным бесконечности, т. е. дисперсионная оценка ширины разброса перестает работать (не существует). Она одинаково будет равна бесконечности у распределений как с большим, так и с меньшим (например, в 10 раз) разбросом. Оценка четвертого момента, а следовательно, и эксцесса, перестает существовать еще раньше. Уже при п = Ъ (v = 4) согласно формуле (2-15) Е=схз и поэтому не имеет смысла. Таким образом, классический аппарат моментов для оценки ширины и формы распределений Стьюдента с малым числом степеней свободы оказывается неработо-

способным и их ширина и форма могут быть оцененв! лишь с использованием доверительных и энтропийных оценок. Этим распределения Стьюдента резко отличаются от всех других рассмотренных ранее законов распределений.

По значениям эксцесса (от s = 3 до s == се) распределения Стьюдента с числом степеней свободы от v = 4 до v = оо совпадают с распределениями класса экспоненциальных с показателями степени от а =0 до а 2, но резко отл ичаются от них по значениям энтропийного коэффициента, который у распределений Стьюдента значительно больше, чем у экспоненциальных распределений. Так, например, экспоненциальное распределение Лапласа с показателем степени а = 1 имеет такой же эксцесс (s - 6, к = = 0,408), как и распределение Стьюдента с числом степеней свободы v = 6 (ср. п. 4 табл. 2-4 и п. 3. табл. 2-5), но его энтропийный коэффициент = 1,92) еще далек от предельного значения k = = 2,066, в то время как у распределения Стьюдента с v = 6 он равен k - 2,0053. По мере увеличения числа степеней свободы эти различия монотонно уменьшаются и при v оо распределение Стьюдента стремится к нормальному с б = 3, к = 0,577 и k = 2,066.

Закон распределения Коши (кривая плотности вероятностей приведена на рис. 2-1, а) важен для теории оценки погрешностей результатов измерений тем, что ему подчиняется, например, распределение отношения двух нормально распределенных центрированных случайных величин.

В последнее время в измерительной технике получает все большее применение для измерений использование шумовых явлений (шумовые термомегры, приборы на основе шумов Барк-гаузена и др.). Но если, например, измерение постоянного активного электрического сопротивления производится на основе соотношения R = иII с использованием источника шумового напряжения, имеющего нормальное распределение, то при разновременном отсчете f/ и / их отношение L будет иметь распределение Коши, что влечет за собой ряд существенных особенностей.

Распределение Коши - это предельное распределение семейства распределений Стьюдента с минимально возможным числом степеней свободы v = 1. Подставляя в выражение (243) v = 1, получим

или в общем (т. е. ненормированном и нецентрированном) виде

где а - параметр ширины, а Хц - координата центра этого распределения. Кривая плотности распределения Коши