Номер пп.

Вид распределения

р<х)

0 + 6

1,41

0,816

2У2~ 1,11

1,79

1,72

0,752

1,76

2,25

0,667

1,88

зуется подобно тому, как это было показано для ограниченных распределений на рис. 2-2, сие, и результирующее распределение получает вид фигуры, показанной в п. 2 табл. 2-3, с нижним основанием, равным а + Ь, и двумя пиками на расстоянии между собой, равном а - 6. Параметры такого распределения приведены в п. 2 табл. 2-3. При а Ъ расстояние между пиками становится равным нулю и распределение получает вид древнерусского шлема (п. 3 табл. 2-3).

Класс экспоненциальных распределений. Как показал И. А. Назаров в 1965 г. в работе [271, широкий класс симметричных распределений может быть описан единой аналитической моделью вида

р(-) = татщ--р(--Г). (2-8)

где % = \-Y0f> о - с. к. о.; Хц - координата центра;

Г (г) - гамма-функция; а - некоторая характерная для данного распределения постоянная - его показатель степени.

В иностранной литературе первое упоминание о такой модели содержится в диссертации В. М. Гентлемана (Gentleman W. М.

Robust estimation of multivariate location by minimizing p-th powers deviations. - Dissertation. - Princeton University and Memorandum. MM 65-1215-16, 1965).

Для иллюстрации влияния показателя степени а на форму описываемого распределения положим Хц =~ О, а произведение

= 1. Тогда

р (х) = - gjrg/ ехр (~- ]хГ)=А (а) ехр (-1 х П (2-9)

где А (а) - нормирующий множитель распределения, еависящий от его показателя степени а.

При а < 1 аналитические модели (2-8) и (2-9) описывают распределения с очень пологими спадами, близкие по своим свойствам к распределеник:» Коши. При а = I она соответствует распределению Лапласа, при а 2 - нор.мальному распределению Гаусса, при а £.> 2 она описывает распределения, по своим свойствам близкие к трапецеидальным, и, наконец, при а -> оо соответствует равномерному распределению..

Эта обобщенная модель интересна тем, что обычно в учебниках по теории вероятностей распределения Лапласа, нормальное и равномерное, рассматривакугся разрозненно, без какой-либо взаимосвязи. О)отношения же (2-8) и (2-9) показывают, что все они являются представителями единого большого класса экспоненциальных распределений. При этом единственным параметром, характеризующим их форму, а следовательно, и их свойства, является показатель степени а описывающей их симметричной двусторонней экспоненты.

Действительно, эксцесс всех этих распределений выражается единой формулой также через показатель степени экспоненты а%

8 - Г (1/а) Г (5/a)/i Г (.3/а)Р, (2-10)

а контрэксцесс, соответственно.

и = Г (Ъ1а)1УТ{ЩТ[5/а). (2-11)

Энтропийный коэффициент экспоненциальных распределений также является однозначной функцией а-

-j/iMTrd/a). (2-12)

Таким образом, показатель степени а однозначно определяет все параметры формы этих распределений. При этом значения а. могут быть не только равными 1, 2 и сю, что соответствует распределениям Лапласа, Гаусса и равномерному, но принимать и любые другие целые и дробные значения, т е модель (2-8) класса экспоненциальных распределений исклк:>чительно удобна ДЛЯ описания распреде-дений погрешностей приборов и измерений.

Значения параметров тахшх распределений приведены

-2 J 0 1 2