Рис. 2-4

После проведения измерения мы получаем отсчет Хд. Однако вследствие погрешности прибора, равной +Д, можем лишь утверждать, что действительное значение измеряемой величины лежит где-то в пределах интервала неопределенности шириной д, = 2А. Если прибор обладает погрешностью с равномерным распределением, то ситуация после измерения описывается распределением, показанным на рис. 2-4, с шириной d = 2Д и плотностью р (ж) = 1/(2А).

Таким образом, в понятиях теории информации смысл измерения состоит в сужении интервала неопределенности от Xg - Xi до измерения до d = 2Д - после измерения, т. е. в А/ == (Xg - Xi)/(2A) раз.

Энтропия результата измерения после получения показания Хд

Я(Х/Х„) = - j -ln-dx = ln2A,

т. е. также является логарифмической мерой нового интервала неопределенности.

Количество информации, полученное в результате измерения5 равно разности исходной и оставшейся энтропии, т. е.

/ = Я (X) - Я (Х/Хд) = 1п(Ха ~ Xi) - In(2A) = In

2 -1

2Д "

= 1пЛГ.

Число N ~ (Xg - Xj)J(2A) показывает, сколько интервалов неопределенности длиной d = 2А укладывается во всем диапазоне Х.2 - Xi, т. е. какое число различимых градаций измеряемой величины позволяет получить данный прибор или метод измерения.

Энтропийный интервал неопределенности. Соотношения I = In N и N = (Ха - X,)/d справедливы при любом законе рас-нределения погрешности, если только интервал неопределенности d будет найден через энтропию. Поэтому В. И. Рабинович и М. П. Дапенко [36 ] предложили называть число N числом эквивалентных делений, различимых в диапазоне Х - X.i при данном законе р (х) распределения погрешности, ad - эквивалентным в энтропийном смысле делением. Нам же представляется более удобным именовать величину N числом различимых градаций измеряемой величины, ad - энтропийным интервалом неопределенности результата измерения.

Основное достоинство информационного подхода к математическому описанию случайных погрешностей состоит в том, что

размер энтропийного интервала неопределенности может быть вычислен строго математически для любого закона распределения погрешности как величина, стоящая под знаком логарифма в выражении для энтропии Я (Х/Хп), устраняя тем самым исторически сложившийся произвол, неизбежный при волевом назначении различных значений доверительной вероятности.

Покажем это на конкретном примере, заимствованном из работы К. Шеннона [50]. Так, например, для нормально распределенной погрешности

In р = - In (о К2д) - /(2о). Отсюда энтропия погрешности

Я(Х/Х„) = -J p{x)lnpix)dx J p{x){lnaV2n + )dx =

4.00 +00

= 1паУ2п J p{x)dx-\-- J xp{x)dx.

Учитьгоая, что p(x)dx=l и по определению дисперсии

хр (х) dx = а\ получаем Я (Х/Х„) = In о У2п + 1/2 =

= In о + In УТ= In aY2ne, т. е. интервал неопределенности d результата измерения, найденный через энтропию в соответствии с теорией информации, однозначно (без каких-либо предположений о выборе уровня доверительной вероятности) равен d = У2ле а 4,133а, а число различимых градаций результата измерения при равномерном распределении вероятности различных значений измеряемой величины

N - (X, - Xyd - (Ха - Xi)/(4,l33o).

Подобным же образом энтропийный интервал неопределенности результата измерения может бьггь однозначно найден для любого выраженного аналитически закона распределения погрешности. Например, при распределении погрешности по треугольному закону Симпсона Я (Х/Хц) = In (]/бёо) и d = yBiea 4,04а.

Разделение диапазона Xg - Х на отдельные различимые градации на основании формальных положений теории информации в виде функционала (2-5) для энтропии представлено на рис. 2-5. Здесь диапазон Xg - Ха разбит на интервалы длиной d, вычис-

Рис. 2-5

ленные указанным выше пу- а) тем, и относительно центра каждого такого интервала, как начала координат, построена кривая соответствующего закона распределения погрешности: равномерного, треугольного и нормального. Отсюда видно, что следствие шеннонов-ского определения энтропии помехи состоит в том, что только при равномерном распределении погрешности границы интервалов неопределенности, логарифм числа которых есть количество

получаемой при измерении информации / = In совпадают с границами распределения погрешности, т. е. отдельные полосы погрешностей лишь соприкасаются между собой. При треугольном, а тем более при неограниченных распределениях интервалы неопределенности определяются лишь той частью распределения, где сосредоточена основная масса этих погрешностей.

Таким образом, то различие в интервалах неопределенности при равномерном распределении погрешности и при неограниченных распределениях погрешности, которое исторически пытались преодолеть назначением соответствующих значений доверительной вероятности, математичестш строго и наглядно описывается при использований в теории хюгрешностей информационного подхода.

Энтропийное значение случайной погрешности!. При практическом использований из.юженж)го информационного подхода для оценки точности результатов измерений привычнее оперировать не со значениями энтропийного интервала неопределенности результата измерения d, а с по-аовиной этого интервала, присвоив ей согласно работе [30] наименование энтропийного значения погрешности Дд.

Формальным определением энтропийного значения случайной величины являются соотношения

Я (Х/Х = In d - 1я (2Дэ),

отсюда d = 2Дэ е" (п) и

Соотношение между энтропийным Ад и средним квадратическим а зн&чееиямй погрешности различно для разных законов распределения, и его удобно характеризовать значением эитро-пинного коэффициента k = AJa данного закона распределения.

TaKj для равномерного распределения Ад == Д == l/Зо » » Г,730 и, следовательно, k = 1,73. Для нормального распределения, как было показано выше. Ад - а]/2ле/2 == оУяе/2 =