более фундаментальным является определение центра из принципа симметрии, т. е. как такой точки на оси х, слева и справа от которой вероятности появления различных значений слчайной величины равны между собой и составляют = = 0.5. Такое значение х называется медианой. На графике интегрального закона распределения (рис. 2-1, в или б) абсцисса медианы соответствует пересечению кривой уровня F {х) = 0,5.

Координата центра может бьп"Ь определена и по-иному, а именно как центр тяжести распределения, т. е. такая абсцисса X, относительно которой опрокидывающий момент равен нулю, т. е.

X = j хр {х) dx.

в-ОО

Центр распределения, нащ1,енный таким путем, носит название математического ожидания. При дискретных отсчетах Xi вычисление интеграла, определяющего математическое ожидание, заме-

няют вычислением среднего арифметического: X = 2 Xiln.

При симметричной кривой плотности распределения одной из возможных оценок центра распределения может сложить абсцисса моды распределения, т. е. максимума плотности. Однако есть распределения, у которых не существует моды. Например, равномерное распределение (рис. 2-1, е). В этих слчаях определение центра как моды распределения лишено смысла.

То же самое относится и к понятию математического ожидания. У распределения Коши (рис. 2-1, о), а также у распределений, необходимых при вычислении погрешностей косвенных измерений (см. табл. 3-3), математического ожидания не существует, так как определяющий его интеграл расходится. Понятие же центра распределения правомерно для всех распределений.

При вероятностном описании погрешности координата центра распределения определяет значение систематической составляющей погрешности, т. е. вероятностное описание погрешностей вюхючает в себя и указание ее систематической составляющей.

•На рис. 2-1 все распределения были показаны с координатой центра Хц = 0. При Хц =7 О несколько изменяется и аналитическое описание плотности распределения вероятностей. Так, плотность распределения Коши при Хц О будет

р(.) = {«я[1+(1:У]}-,

а плотность распределения Гаусса

И ж. д.

ЕСЛИ HS всех наблюдавшихся значении погрешности вычесть систематическую составляющую, т. е. перенести начало координат в центр распределения, то такое распределение называется центрированным.

Моменты распределения. Для описания различных свойств распределений используют также караметры законов распределения, называемые моментами. Моменты, найденные без исключения систематической составляющей, называются начальными, а найденные для центрированных распределений, - центральными.

Первый начальный момент называется математическим ожиданием и был уже рассмотрен выше. Центральный момент k-ro порядка для непрерывной случайной величины выражается интегралом

+»

Второй центральный можнт называется дисперсией случайной величины и относится к параметрам, характеризующим рассеяние отдельных ее значений от центра распределения:

+5»

, = =

(x-Xpix)dx.

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной велитанв й выражает как бы мощность рассеяния относительно постоянной составляющей. Поэтому для более наглядной характеристики самого рассеяния пользуются корнем квадратным из дисперсии, т. е. действующим значением рассеяния, которое называется средним кеадратическим отклонением (сокращенно ск. о.) к имеет размерность самой случайной величины: а -УО.

Третий центральный момент ig характеризует асимметрию, 1. е. скошенность распределения: когда один спад--крутой, а другой - пологий. Для симметритаых относительно центра распределений он равен нулю. Третий момент имеет размерность куба случайной величины, поэтому щя относительной характеристики асимметрии используют безразмерный коэффициент асимметрии, равный третьему моменту, деленному на куб с. к. о.: s = 1x3/0*.

Четвертый центральный мом,ент ja характеризует протяженность распределения, а отнюдь не остроту его вершины, как это часто ошибочно указывается. Его относительное значение s = = jijc* называется аксцессом распределения и для разных законов может иметь значения от I (для дискретного двузначного - рис. 2-1, s) до оо (для распределения Коши - рис. 2-1, а). Для островершинного треугольного распределения s = 2,4, а для кругловершинного нормального б ~~ 3,0. Во многих пособиях по теории вероятностей вводится величина коэффициента эксцесса 2 8 -- 3, которая для менее протяженных распределений (треугольноГОэ paBHOMepHOFOj арксинусоидального] отрицатель-

на (от -2 до 0), а для Ьолее протяженных, чем нормальное, - положительна (от О до оо). Но такое, сдвинутое на 3, значение не входит ни в одну из формул теории вероятностей и поэтому в данной книге использоваться не будет. Для классификации распределений по их форме удобнее использовать другую функцию от эксцесса, а именно к = изменяющуюся для любых рас-

пределений лишь Б пределах от О до 1. Эту величину будем именовать контрэксцессом.

Деформация законов распределения при суммировании случайных величин. Особенность законов распределения таких случайных величин, как погрешноа?и приборов и результатов измерений, состоит в их большом разнообразии. Это вызвано тем, что результирующая погрешность прибора или результата измерения складывается из ряда составляющих. Если эти составляющие рассматривать как случайные величины, то суммирование погрешностей сводится к с>тммироБанию случайных величин. Но при суммировании случайных величин законы их распределения резко изменяют свою форму.

Закон распределения с>т«1мы независимых случайных величин р {х) == р {xi + х, имеющих распределения р {х) и р {х), называется композицией и выражается интегралом свертки:

р{х)- f pi{z)p{x - z)dz.

Изменение формы законов распределения при образовании композиции показано на рис. 2-2.

Так, при суммировании двух равномерно распределенных погрешностей (рис. 2-2, а) с шириной распределений о > fc результирующая погрешность имеет распределение в форме трапеции с верхним основанием а-Ь и нижним а+Ь. Эту деформацию можно представить себе более наглядно как «размыв» резко ограниченных концов более широкого распределения (шириной а) на величину протяженности Ь менее широкого распределения как это показано штриховыми линиями на рис. 2-2, а.

Композиция двух одинаковых (с шириной а) равномерных распределений является треугольной (так на,зыБаемое распределение Симпсона), так как в этом случае верхнее основание трапеции обращается в нуль, а нижнее - в 2а.

Подобным же образом образуется композиция равномерного и нормального распределений (рис. 2-2, б), лишь с тем отличием, что подъем и спад по краям результирующего распределения происходит по кривой интегрального закона нормального распределения, аналогично тому, как на рис. 2-2, а он происходил по кривой интегрального закона равномерного распределения (по прямой линии).