поверку прибора на одной и той же числовой отметке шкалы один раз, устанавливая заново корректором указатель на нулевую отметку перед каждой поверкой, а др>той раз - с однажды установленным и заклеенным корректором. Во втором случае дисперсия отсчетов по образцовому потенциометру оказалась ровно Б два раза меньшей, чем в первом. Следовательно, устанав-ливая каждой раз заново указатель на нулевую отметку, поверитель вносит точно такую же случайную погрешность, какая характерна для данного прибора, и общая дисперсия удваивается. Это особенно важно иметь в виду при использовании методов автоматической коррекции. Поэтому вопрос о возможном снижении погрешности результатов измерения требует анализа соотношения случайных и систематических составляющих погрешностей (см. § 4-7 и 8-8-8-10).

ГЛАВА ВТОРАЯ

МЕТОДЫ ВЕРОЯТНОСТНОГО ОПИСАНИЯ

ПОГРЕШНОСТЕЙ СРЕДСТВ

И РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

2-1. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Для характеристики частоты появления различных значений случайной величины X (в нашем слчае погрешности прибора или результата измерения с учетом и ее систематической составляющей) теория вероятностей предлагает пользоваться указанием закона распределения вероятностей различных значений этой величины. При этом различают два вида описания законов распределения: интегральный и дифференциальный.

Интегральным законом, или функцией распределения вероятностей F (Х) случайной величины X, называют функцию, значение которой для каждого х является вероятностью события, заключающегося Б том, что случайная величина X принимает значения, меньшие х, т. е. функцию F {х) = Р {X <,х\. Это неубывающая функция X, изменяющаяся от F (-оо) = О до (+ оо) = = 1. Она существует для всех слчайных величин, как дискретных, так и непрерывных.

Для случайной величины с непрерывной и дифференцируемой функцией распределения F {х) можно найти дифференциальный закон распределения вероятностей, выражаемый как производная от F (х), т. е. как р {х) = F {х). Эта зависимость называется кривой плотности распределения вероятностей. Она всегда неотрицательна и подчинена условию нормирования в виде

• \p(x)dxU

-а О а.

Рис, 2-1

ЧТО непосредственно следует из свойств интегральной функции распределения F (х).

Примеры законов распределения. Одним из простейших законов распределения является распределение Кошщ плотность вероятностей для которого

Это распределение (рис. 2-1, aj близко к предельно пологому, так как при более пологих, чем (где а - сколь угодно

малая положительная величина), спадах плош,адь шд кривой бесконечна и не может быть приравнена единице, т. е. не выполняется условие нормирования, и такие кривые не могут описывать плотность распределения вероятностей.

Другим законом распределения, с более быстроспадающей плотностью при отклонении х от центра распределения, является распределение Лапласа (рис. 2-1,6) с плотностью

р(х)=-1-е-«*1,

41. ё. двустороннее экспоненциальное распределение.

Наиболее часто используемым в теории вероятностей законош

распределения является нормальный (распределение Гаусса), плотность вероятности которого описывается выражением

W=-p[~-4-(-)1.

т. е. спадает по мере удаления от х = О еще быстрее, чем при законе распределения Лапласа. Интегральный закон этого распределения показан на рис. 2-1, в, а кривая плотности - на рис. 2-1, г.

Если непрерывная случайная величина принимает значения лишь в пределах некоторого конечного интервала от до Х с постоянной плотностью вероятностей, то такой закон распределения называют равномерным. Его функция распределения (рис. %\,д\ на участке от -оо до равна нулю, на .участке от Xi до Ха линейно возрастает от О до 1, а на участке от Xg до +00 равна 1. Плотность вероятностей такого распределения представлена на рис. 2-1, е и записывается как

р {х) = 1/(Х2 -- Xi) = const при Xi < д: < Ха;

p/jr) = О при x<iXx и x>X2.

Распределение отсчетов синусоидально изменяющейся во времени величины х = Xjn sin at, если моменты этих отсчетов равномерно распределены во времени, называется арксинусоидальным. Его плотность описывается выражением

р(;г) = 1/(з1]/хГ=

и представлена на рис. 2-1, ж.

Распределение, при котором встречаются с равными вероятностями только два дискретных значения случайной величины +а и -с, называется дискретным двузначным распределением. Его плотность распределения вероятностей представлена на рис. 2-1,3 и описываегся аналитически:

р(;г) = -1-е(х-й) + 4-б(л: + а).

где 6 - дельта-функция Дирака.

Понятие центра распределения. Координата центра распределения определяет положение случайной величины на числовой оси. Однако дать строгое определение этого понятия далеко не просто. Распределения погрешностей приборов или результатов измерений, как правило, являются симметричными. Поэтому применительно к распределениям вероятностей погрешностей центр распределения может быть определен как центр симметрии распределения.

Координата центра распределения может быть определена несколькими способами. Наиболее общим, а следовательно, и наи-